10. fejezet – Váltakozó áramú áramkörök

10.1 A szinuszos váltakozó feszültség keletkezése; periódusidő, frekvencia, körfrekvencia

Miért nem egyenárammal működik a hálózat?

A 2. és a 8. fejezetben az egyenáramú kört tanulmányoztuk: a telep egyik sarka mindig pozitív, a
másik mindig negatív, az áram mindig ugyanabba az irányba folyik. Ez egyszerű, jól számolható,
és a zsebszámológéptől az akkumulátoros kéziszerszámig rengeteg helyen ez működik.

A közcélú villamosenergia-hálózat mégsem így épül fel. A konnektorban váltakozó feszültség
van: a két érintkező között a feszültség előjele másodpercenként ötvenszer megfordul. Első
ránézésre ez fölösleges bonyolítás. Miért nem egyszerűbb egyenárammal?

A válasz a 9. fejezet legfontosabb törvényében rejlik. A nyugalmi indukció – és rá épülve a
transzformátor – csak akkor működik, ha a tekercset átjáró fluxus időben változik. Állandó
fluxus nem indukál feszültséget. Ha tehát a hálózatban egyenáram folyna, a transzformátor
másodlagos tekercsében nem keletkezne feszültség: a transzformátor egyszerűen nem létezne.

Márpedig a transzformátor nélkül nem volna villamosenergia-rendszer. Az erőműtől a fogyasztóig
a villamos energiát nagy feszültségen és kis áramon érdemes szállítani, mert a vezeték
melegedési vesztesége az áram négyzetével arányos (P = I²·R, ezt a 2. fejezetből ismerjük).
A fogyasztónál viszont kis feszültség kell, mert a nagyfeszültség életveszélyes és
kezelhetetlen. A kettő között valaminek át kell alakítania a feszültségszintet – és ezt szinte
veszteségmentesen csak a transzformátor tudja. A transzformátor pedig kizárólag váltakozó
árammal működik.

Hogyan keletkezik a szinuszgörbe?

A 9. fejezet mozgási indukcióról szóló részében láttuk: ha egy vezetőkeretet egyenletesen
forgatunk homogén mágneses térben, a keretben feszültség indukálódik. Nézzük meg, hogyan
változik ez a feszültség a forgás során.

• Amikor a keret síkja merőleges az erővonalakra, a keret oldalai pillanatnyilag az
  erővonalakkal párhuzamosan mozognak, nem metszenek erővonalat – az indukált feszültség nulla.
• Amikor a keret síkja párhuzamos az erővonalakkal, az oldalai merőlegesen metszik az
  erővonalakat – az indukált feszültség maximális.
• Fél fordulat után a keret oldalai fölcserélődnek: ugyanaz az oldal most az ellenkező irányba
  metszi az erővonalakat, ezért az indukált feszültség előjelet vált.

A közbenső helyzetekben a feszültség a forgásszög szinuszával arányos. A forgó gép kapcsain
tehát szinuszgörbe jelenik meg – nem azért, mert így találták ki, hanem mert az egyenletes
körmozgás vetülete matematikailag szinuszfüggvény. A generátor működéséről a 22. fejezetben
lesz szó; itt most csak azt fogadjuk el, hogy a hálózati feszültség jó közelítéssel szinuszos.

A pillanatnyi érték

A váltakozó mennyiség első és legfontosabb tulajdonsága, hogy minden pillanatban más az
értéke. Ezért be kell vezetnünk egy olyan jelölést, amely megmondja, mekkora a feszültség egy
adott időpillanatban.

u(t) = Û · sin(ω · t + φ)

Ez a képlet a fejezet legfontosabb sora. Minden más ebből következik. Érdemes megjegyezni a
jelölési szabályt is, mert vizsgán a kis- és nagybetű összekeverése önmagában hibapont:

Periódusidő és frekvencia

A szinuszgörbe ismétlődik: egy teljes „hullám” után ugyanaz kezdődik elölről.

f = 1 / T          és megfordítva:      T = 1 / f

A két mennyiség tehát egymás reciproka: ha az egyiket tudjuk, a másikat egy osztással megkapjuk.
A magyar közcélú hálózat névleges frekvenciája 50 Hz – ez azt jelenti, hogy másodpercenként
50 teljes periódus zajlik le, és egy periódus 20 ezredmásodpercig tart.

Kidolgozott példa 10.1 – Periódusidő és frekvencia
Adat: a hálózat névleges frekvenciája f = 50 Hz

T = 1 / f
T = 1 / 50 Hz
T = 0,02 s
T = 20 ms

Ellenőrzés visszafelé:
f = 1 / T = 1 / 0,02 s = 50 1/s = 50 Hz

Egy periódus alatt a feszültség kétszer megy át nullán, és kétszer éri el a csúcsértékét (egyszer
pozitív, egyszer negatív irányban). Ez azt is jelenti, hogy a hálózati feszültség másodpercenként
százszor nulla – ezért egy 50 Hz-es ív könnyebben oltható, mint az egyenáramú, amelyben az
áram soha nem megy át magától nullán (erre a kapcsolókészülékeknél, a 17. fejezetben térünk
vissza).

A körfrekvencia – levezetéssel

A szinuszfüggvény argumentuma szög, nem idő. A sin(...) zárójelébe nem írhatunk
másodpercet. Kell tehát egy mennyiség, amely az időt szöggé váltja át. Ez a körfrekvencia.

Vezessük le. Induljunk ki abból, amit az imént láttunk: a szinuszgörbe egy egyenletes körmozgás
vetülete. Egy teljes periódus alatt a forgó vektor egy teljes fordulatot tesz meg, ami
radiánban mérve 2π. Ez a fordulat éppen T idő alatt megy végbe. A szögsebesség
(szögelfordulás osztva az idővel) tehát:

ω = teljes szögelfordulás / a hozzá tartozó idő
ω = 2π / T

és mivel  1/T = f :

ω = 2π · f

ω = 2 · π · f = 2π / T

A hálózati 50 Hz-hez tartozó körfrekvencia annyira gyakran előfordul, hogy érdemes megjegyezni:

Kidolgozott példa 10.2 – Körfrekvencia
Adat: f = 50 Hz

ω = 2 · π · f
ω = 2 · 3,1416 · 50 1/s
ω = 6,2832 · 50 1/s
ω = 314,16 rad/s        (a gyakorlatban: ω ≈ 314 rad/s)

Ellenőrzés a periódusidőből:
ω = 2π / T = 6,2832 / 0,02 s = 314,16 rad/s     ✔ egyezik

Egy frekvenciaváltós hajtásnál a frekvencia nem 50 Hz, hanem a beállított érték. Ilyenkor mindent
újra kell számolni:

Kidolgozott példa 10.3 – Frekvenciaváltós hajtás adatai
Adat: a frekvenciaváltó kimenetén f = 35 Hz

T = 1 / f = 1 / 35 Hz = 0,02857 s = 28,6 ms
ω = 2 · π · f = 6,2832 · 35 1/s = 219,9 rad/s

Összevetés az 50 Hz-es értékekkel:
T:  20 ms  →  28,6 ms      (hosszabb periódus)
ω:  314 rad/s → 219,9 rad/s (lassabb „forgás”)

Fázisszög és fáziseltérés

A φ a képletben a kezdőfázis: megmondja, hol tartott a görbe a t = 0 időpillanatban. Ha
φ = 0, a görbe éppen nullából indul felfelé.

Önmagában egy jel kezdőfázisa érdektelen – attól függ, mikor indítottuk el a stopperórát. Ami
igazán számít, az két jel egymáshoz viszonyított helyzete.

A fáziseltérés a váltakozó áramú technika kulcsfogalma. A későbbi fejezetekben a hatásos és a
meddő teljesítmény, a teljesítménytényező, a fázisjavítás – mind ezen a szögön múlik. Ezért
érdemes már most szemléletesen rögzíteni: a fáziseltérés azt jelenti, hogy két görbe
vízszintesen el van tolva egymáshoz képest.

Az eltolást szögben adjuk meg, mert így független a frekvenciától. Egy teljes periódus 360°,
tehát:

• negyed periódusnyi eltolás = 90°;
• fél periódusnyi eltolás = 180° (ilyenkor a két jel „ellentétes fázisú”);
• nulla eltolás = fázisban vannak.

50 Hz-en a 90° időben 5 ms-nak felel meg (a 20 ms periódusidő negyede).

10.2 Csúcsérték, effektív érték, középérték; a formatényező

Ha egy mennyiség minden pillanatban más, akkor felmerül a kérdés: melyik számmal jellemezzük?
Nem mondhatjuk azt, hogy „a konnektorban a feszültség 0 és 325 V között ingadozik” – kell egyetlen
szám, amellyel számolni tudunk. Erről szól ez az alfejezet, és ez a fejezet legfontosabb
gyakorlati része.

Csúcsérték és csúcstól csúcsig érték

A csúcsérték két dolog miatt fontos a szakmában: a szigetelést erre kell méretezni (mert a
szigetelést a legnagyobb pillanatnyi feszültség terheli), és az oszcilloszkóp ezt mutatja.

Az effektív érték – levezetéssel

A hálózaton mégsem a csúcsértéket használjuk. A tábláinkra, a készülékek adattáblájára, a
műszerek kijelzőjére az effektív érték kerül. Nézzük meg, mi ez, és honnan jön.

A gondolatmenet a következő. Egy ellenálláson átfolyó áram hőt fejleszt. Egyenáramnál a
teljesítmény P = U²/R, és ez időben állandó. Váltakozó áramnál a pillanatnyi teljesítmény
p(t) = u(t)²/R, ami folyamatosan változik: nullától a csúcsértékhez tartozó maximumig lüktet.
A vasaló, a vízmelegítő, a fűtőszál viszont nem a pillanatnyi értékre reagál, hanem az
átlagos hőteljesítményre.

Keressük meg tehát azt az egyenfeszültséget, amely ugyanakkora átlagos hőteljesítményt okoz
ugyanazon az ellenálláson. Ez lesz a váltakozó feszültség effektív értéke.

A levezetés lépései:

Levezetés – az effektív érték

1. A pillanatnyi feszültség:            u(t) = Û · sin(ω·t)
2. A pillanatnyi teljesítmény:          p(t) = u(t)² / R = Û² · sin²(ω·t) / R
3. Trigonometrikus azonosság:           sin²(x) = ( 1 − cos(2x) ) / 2
4. Behelyettesítve:                     p(t) = Û²/R · ( 1 − cos(2ω·t) ) / 2
5. A cos(2ωt) tag egy teljes periódusra vett középértéke NULLA
   (ugyanannyi ideig pozitív, mint negatív, azonos területtel),
   ezért a sin² középértéke pontosan 1/2.
6. Az átlagos teljesítmény:             P_átl = Û² / (2 · R)
7. Az azonos hőhatású egyenfeszültség:  U² / R = Û² / (2 · R)
8. Innen:                               U² = Û² / 2
9. Gyököt vonva:                        U = Û / √2 = 0,7071 · Û

U = Û / √2 = 0,707 · Û          és megfordítva:      Û = U · √2 = 1,414 · U

Fontos, hogy a 0,707-es szorzó kizárólag szinuszos jelre érvényes. A definíció (azonos
hőhatás) minden jelalakra igaz, de a csúcsérték és az effektív érték aránya jelalakonként más.
Ez a 10.10 alfejezetben és a mérésekben (6. fejezet) fog visszaköszönni.

Miért effektív értékkel számolunk?

Négy nagyon gyakorlatias oka van annak, hogy a szakma az effektív értéket használja:

1. Ezzel működik minden egyenáramból ismert képlet. Ha effektív értéket helyettesítünk be,
   akkor P = U·I, U = I·R és a többi összefüggés úgy viselkedik, ahogy megszoktuk. Ha
   csúcsértéket helyettesítenénk, mindenhol √2-es szorzókat kellene követnünk.
2. Ez felel meg a valódi hatásnak. A vezeték melegedése, a biztosító kioldása, a motor
   nyomatéka mind a tényleges energiaátalakuláshoz kötődik.
3. Ezt mérik a műszerek. A lakatfogó, a multiméter, a hálózatanalizátor kijelzőjén effektív
   érték jelenik meg (a 6. fejezetben tárgyalt megszorítással: csak a valódi effektív értéket
   mérő, TRMS-műszer ad helyes eredményt torzított jelalakra is).
4. Ez van a táblán. Ha egy motor adattábláján 400 V szerepel, az effektív érték. Ha egy
   kábelre 0,6/1 kV van írva, az szintén effektív értékű névleges feszültség.

Kidolgozott példa 10.4 – A hálózati feszültség jellemző értékei
Adat: U = 230 V effektív érték, f = 50 Hz

Csúcsérték:
Û = U · √2
Û = 230 V · 1,4142
Û = 325,3 V

Csúcstól csúcsig érték:
U_cs-cs = 2 · Û = 2 · 325,3 V = 650,6 V

Pillanatnyi érték t = 2 ms időpontban (φ = 0 kezdőfázissal):
ω · t = 314,16 rad/s · 0,002 s = 0,6283 rad = 36,0°
u(2 ms) = Û · sin(36,0°)
u(2 ms) = 325,3 V · 0,5878
u(2 ms) = 191,2 V

A középérték

Egy teljes periódusra a szinuszos feszültség matematikai középértéke nulla, hiszen a pozitív
és a negatív félhullám kioltja egymást. Ezért a gyakorlatban a félperiódusra vett középértéket
(vagy ami ugyanaz: az egyenirányított jel átlagértékét) használjuk.

Vezessük le ezt is. A félperiódus alatt a szinuszgörbe alatti terület és a félperiódus hossza
hányadosát keressük. A szinuszfüggvény átlaga 0-tól π-ig:

Levezetés – a szinusz félperiódusra vett középértéke

1. A keresett középérték:     U_köz = (a görbe alatti terület) / (a szakasz hossza)
2. A szinusz integrálja 0-tól π-ig:   [ −cos x ] 0-tól π-ig = −(−1) − (−1) = 2
3. A szakasz hossza:                  π
4. A szinuszfüggvény középértéke:     2 / π = 0,6366
5. Tehát a feszültségre:              U_köz = 0,637 · Û

U_köz = 0,637 · Û = (2/π) · Û

A középérték nem elméleti kuriózum: az egyenirányító kimenetén pontosan ez jelenik meg,
és a hagyományos, forgótekercses (lengőtekercses) műszer is ezt méri. Erre épül a következő
fogalom.

A formatényező

k_f = U / U_köz

k_f = 0,7071 · Û / (0,6366 · Û) = 1,1107 ≈ 1,11

Miért érdekes ez? Mert az olcsó, nem valódi effektív értéket mérő műszerek pontosan ezzel a
számmal dolgoznak. Ahogy a 6. fejezetben láttuk: az ilyen műszer nem az effektív értéket méri,
hanem az egyenirányított jel középértékét, majd megszorozza 1,11-del, és a kijelzőre
effektív értékként írja ki. Tiszta szinuszos jelalaknál ez helyes – minden más jelalaknál
hibás, mert más jelalakhoz más formatényező tartozik.

Kidolgozott példa 10.5 – Oszcilloszkópos leolvasás átszámítása
Adat: az oszcilloszkóp képernyőjén a jel 6,8 osztásnyi magas
      csúcstól csúcsig, a függőleges érzékenység 100 V/osztás.

Csúcstól csúcsig érték:
U_cs-cs = 6,8 osztás · 100 V/osztás = 680 V

Csúcsérték:
Û = U_cs-cs / 2 = 680 V / 2 = 340 V

Effektív érték (szinuszos jelalakot feltételezve):
U = Û / √2 = 340 V / 1,4142 = 240,4 V

Középérték:
U_köz = 0,637 · 340 V = 216,6 V

Ellenőrzés a formatényezővel:
k_f = 240,4 V / 216,6 V = 1,110      ✔ egyezik az elméleti 1,11-del

10.3 Fazoros (vektoros) ábrázolás és kitekintés a komplex számításra

Ez a fejezet legfontosabb – és tapasztalat szerint legnehezebb – alfejezete. Kérlek, ne siess át
rajta. Aki a fazorábrát megérti, annak a váltakozó áramú számítások hátralévő része szinte
magától adódik; aki nem, az a fejezet végéig képleteket fog magolni értelem nélkül. Ezért lépésről
lépésre haladunk.

A probléma, amit meg kell oldanunk

Tegyük fel, hogy egy soros körben két feszültséget mértünk: az ellenálláson 158,8 V-ot, a
tekercsen 166,3 V-ot. Mekkora a kettő együtt, azaz mekkora a tápfeszültség?

Az egyenáramú ösztön azt mondja: 158,8 + 166,3 = 325,1 V. Ez az eredmény hibás. A valóságban
a tápfeszültség 230 V. A hiba oka az, hogy a két feszültség nem egyszerre éri el a maximumát:
90°-os fáziseltérés van közöttük. Amikor az egyik a csúcson van, a másik éppen nulla. Az
összegük ezért nem a számok összege.

Kellene tehát egy módszer, amely az összeadásnál a fáziseltérést is figyelembe veszi. Ez a
módszer a fazoros ábrázolás.

A fazor születése: a forgó vektor

Emlékezzünk vissza a 10.1 alfejezetre: a szinuszgörbe egy egyenletes körmozgás vetülete. Fordítsuk
meg a gondolatot. Minden szinuszos mennyiséghez hozzárendelhetünk egy forgó vektort, amelyre a
következők igazak:

• a vektor hossza a mennyiség nagyságát jelenti;
• a vektor egyenletesen forog az óramutató járásával ellentétes irányban, ω szögsebességgel;
• a vektor függőleges vetülete minden pillanatban éppen a mennyiség pillanatnyi értékét adja;
• a vektor kezdeti szöge a kezdőfázis (φ).

Ha egy ilyen forgó vektor végpontját nyomon követjük, és a vetületét az idő függvényében
felrajzoljuk, pontosan a szinuszgörbét kapjuk vissza. A két ábrázolás ugyanaz az információ,
csak más formában.

A nagy egyszerűsítés: megállítjuk a forgást

Itt jön az a lépés, amelyet a legtöbben nem értenek meg elsőre – pedig ez teszi a fazorábrát
használhatóvá.

Egy áramkörben minden mennyiség azonos frekvenciájú: ha a tápfeszültség 50 Hz-es, akkor az
áram is 50 Hz-es, és minden részfeszültség is az. Ez azt jelenti, hogy a hozzájuk rendelt vektorok
mind ugyanolyan sebességgel forognak, tehát az egymáshoz viszonyított helyzetük nem
változik. Olyan ez, mint egy körhinta: hiába forog, az ülések egymáshoz képest állnak.

Ha pedig az egymáshoz viszonyított helyzet állandó, akkor fölösleges forgatni őket. Készítsünk
egy pillanatfelvételt: rajzoljuk le a vektorokat egyetlen kiválasztott pillanatban, és attól
kezdve tekintsük őket állónak. Az így „megállított” vektort nevezzük fazornak.

Két dolgot rögzítsünk azonnal, mert ezek okozzák a legtöbb félreértést:

1. A fazor hossza az effektív érték. Bár a vetület a csúcsértékkel adná vissza a pillanatnyi
   értéket, a gyakorlatban a fazorábrát effektív értékekre rajzoljuk – hiszen ezekkel számolunk.
   A kettő között csak egy egységes √2-es szorzó van, ami az arányokat nem befolyásolja.
2. A fazorábra nem az áramkör kapcsolási rajza. Nem azt mutatja, hogy melyik alkatrész hol
   van, hanem azt, hogy melyik mennyiség mekkora, és hogyan viszonyul fázisban a többihez.

A referenciafazor kiválasztása

Egy fazorábrán az abszolút irányoknak nincs jelentésük – csak a szögkülönbségeknek. Ezért az
egyik mennyiséget kijelöljük alapnak (referenciának), vízszintesen jobbra rajzoljuk, és
mindent hozzá képest mérünk. A választás nem véletlenszerű, hanem szigorú szabályt követ:

A logika egyszerű: azt választjuk alapnak, ami közös, mert ahhoz képest tudjuk a többit
elhelyezni. Soros körben az áram közös, tehát az áramhoz viszonyítjuk a részfeszültségeket;
párhuzamos körben a feszültség közös, tehát a feszültséghez viszonyítjuk az ágáramokat.

Fazorok összeadása – a párhuzamos szabály

Két fazor összegét ugyanúgy képezzük, mint bármely két vektorét a matematikaórán:

1. Az első fazor végpontjából felrajzoljuk a másodikat, önmagával párhuzamosan eltolva
   („láncmódszer”), és az összeg a kiindulópontból a végpontig húzott vektor; vagy
2. a két fazorra paralelogrammát szerkesztünk, és az összeg a paralelogramma átlója.

Merőleges fazorok esetén – és ez a leggyakoribb eset, mert az R, L, C elemek éppen 90°-os
eltéréseket okoznak – a paralelogramma téglalappá egyszerűsödik, és az összeg nagyságát a
Pitagorasz-tétel adja:

Ha A és B merőlegesek egymásra:

    az eredő nagysága:      C = √( A² + B² )
    az eredő szöge A-hoz képest:   tg φ = B / A

Ez a képlet a fejezet hátralévő részének a gerince. Az impedancia, a feszültségháromszög, az
áramháromszög – mind ugyanez a Pitagorasz-tétel, csak más betűkkel.

Fazorábra szerkesztése lépésről lépésre

Nézzük meg egy konkrét, számokkal megadott feladaton, hogyan kell papíron, vonalzóval és
szögmérővel felrajzolni egy fazorábrát. Ez vizsgán is előfordulhat.

Feladat: Soros körben az áram 5,3 A, az ellenálláson 158,8 V, a tekercsen 166,3 V esik.
Szerkeszd meg a fazorábrát!

Kidolgozott példa 10.6 – Fazorábra szerkesztése számokból

1. LÉPÉS – Referenciafazor kiválasztása
   Soros kör → a közös mennyiség az ÁRAM.
   Az I = 5,3 A fazort vízszintesen, jobbra rajzoljuk.

2. LÉPÉS – Léptékek felvétele
   Áramlépték:      1 cm = 2 A     →  az I fazor hossza: 5,3 / 2 = 2,65 cm
   Feszültséglépték: 1 cm = 40 V   →  U_R hossza: 158,8 / 40 = 3,97 cm
                                      U_L hossza: 166,3 / 40 = 4,16 cm
   (A két léptéket külön kell megadni, mert más a mértékegység!)

3. LÉPÉS – Az ellenállás feszültsége
   Az ellenálláson a feszültség és az áram FÁZISBAN van (lásd 10.4).
   Az U_R = 158,8 V fazort tehát az árammal EGY IRÁNYBA,
   vízszintesen jobbra rajzoljuk, 3,97 cm hosszan.

4. LÉPÉS – A tekercs feszültsége
   A tekercsen a feszültség 90°-kal SIET az áramhoz képest (lásd 10.5).
   Az U_L = 166,3 V fazort tehát az U_R végpontjából FÖLFELÉ,
   az áramra merőlegesen rajzoljuk, 4,16 cm hosszan.

5. LÉPÉS – Az eredő
   Az origóból az U_L végpontjához húzott vektor a tápfeszültség fazora.
   Mért hossza az ábrán: 5,75 cm  →  5,75 · 40 = 230 V

6. LÉPÉS – Ellenőrzés számítással
   U = √( U_R² + U_L² )
   U = √( 158,8² + 166,3² ) V
   U = √( 25218 + 27656 ) V
   U = √52874 V
   U = 229,9 V                      ✔ egyezik a szerkesztéssel

7. LÉPÉS – A fázisszög
   tg φ = U_L / U_R = 166,3 / 158,8 = 1,047
   φ = 46,3°       (szögmérővel az ábrán is ennyi mérhető)
   Mivel U_L fölfelé mutat: a feszültség SIET az áramhoz képest.

Mire jó mindez?

Foglaljuk össze, mit nyertünk a fazorábrával:

• Összeadni tudunk olyan mennyiségeket, amelyeket egyébként nem lehetne (más fázisú
  feszültségeket, áramokat).
• Látjuk a fázisviszonyokat: egy pillantással eldönthető, hogy a kör induktív vagy kapacitív
  jellegű-e.
• Ellenőrizhetjük a számításunkat: ha a szerkesztés és a számítás nem ad ugyanannyit,
  valahol hiba van.
• Megértjük a fázisjavítást (11. fejezet): ott éppen az lesz a feladat, hogy egy fazort
  „visszaforgassunk”.

Kitekintés: a komplex számítás

Technikusi szinten a fazorábra és a Pitagorasz-tétel elegendő. Érdemes azonban tudni, hogy a
mérnöki gyakorlat ugyanezt komplex számokkal végzi: a vízszintes irány a valós tengely, a
függőleges a képzetes tengely, amelyet j-vel jelölünk (a matematikában megszokott i helyett,
nehogy összekeverjük az árammal). Ekkor az impedancia:

Z = R + j·X

Ebben az alakban az összeadás és a kivonás közvetlenül elvégezhető, a nagyságot pedig ugyanaz a
Pitagorasz-tétel adja: |Z| = √(R² + X²). A forrásunk így fogalmaz: „Valamely passzív elem
komplex feszültség- és áram-amplitúdójának hányadosát impedanciának nevezzük.”

Ebben a jegyzetben végig a fazorábrás, geometriai megközelítést használjuk – a komplex alakot
csak azért említjük, hogy a szakirodalomban felismerd.

10.4 Tiszta ellenállás váltakozó áramú körben

Kezdjük a legegyszerűbb esettel: a körben csak ohmos ellenállás van (fűtőszál, izzólámpa,
hosszabbító vezetéke).

Az ellenállásra érvényes Ohm törvénye minden pillanatban: ha a feszültség nő, az áram
azonnal, késlekedés nélkül nő vele. Ha a feszültség nulla, az áram is nulla. Ha a feszültség
előjelet vált, az áram is előjelet vált.

i(t) = u(t) / R

Ebből következik a legfontosabb megállapítás: a feszültség és az áram fázisban van, a
fáziseltérés φ = 0°. A fazorábra ennek megfelelően a lehető legegyszerűbb: két, azonos irányba
mutató fazor.

Az effektív értékekre Ohm törvénye változatlan alakban érvényes:

U = I · R          illetve      I = U / R

Az „ohmos” jelző erre az elemre azt jelenti: energiát fogyaszt, és nem okoz fáziseltolást. A
következő két alfejezetben látni fogjuk, hogy a tekercs és a kondenzátor pontosan fordítva
viselkedik: fáziseltolást okoz, de (ideális esetben) nem fogyaszt energiát.

10.5 Tiszta induktivitás; induktív reaktancia

Mit csinál a tekercs a váltakozó árammal?

A 9. fejezetben megtanultuk az önindukciót: ha egy tekercsben az áram változik, a tekercs
önmagában feszültséget indukál, amely Lenz törvénye szerint akadályozza a változást.

Váltakozó áramnál az áram állandóan változik – másodpercenként ötvenszer fel-le. A tekercs
tehát folyamatosan „ellenáll” ennek a változásnak. Ez az ellenállás azonban nem hőt fejleszt,
hanem energiát vesz fel a mágneses terébe, majd visszaadja a hálózatnak. Az ideális tekercs
tehát korlátozza az áramot anélkül, hogy fogyasztana.

X_L = ω · L = 2 · π · f · L

U_L = I · X_L

A képletből két nagyon fontos következtetés adódik:

1. A reaktancia a frekvenciával egyenesen arányos. Kétszeres frekvencián kétszer akkora.
   Ezért működik a fojtótekercs zavarszűrőként: a nagyfrekvenciás zavarokat sokkal jobban
   akadályozza, mint az 50 Hz-es hasznos áramot.
2. Egyenáramon (f = 0) a reaktancia nulla. A tekercs egyenáramon csak a
   huzal ohmos ellenállását mutatja. Ez magyarázza, hogy egy váltakozó áramra
   tervezett tekercs (például egy mágneskapcsoló behúzótekercse)
   tönkremegy, ha a névleges váltakozó feszültségével azonos nagyságú
   egyenfeszültségre kapcsoljuk: a reaktancia eltűnik, az áramot már csak a
   néhány ohmos huzalellenállás korlátozza, ezért az áram sokszorosára nő, és
   a tekercs leég. (Kisebb egyenfeszültségen – ahogy a 10.2. feladat d)
   pontjában is – a tekercs nem feltétlenül károsodik, csak nem húz be; a
   határt a huzalellenállás és a megengedett melegedés szabja meg.)

A fázisviszony

A tekercsnél az áram nem tudja azonnal követni a feszültséget, mert a mágneses tér felépítése
időt igényel. A forrás megfogalmazása szerint a tekercsnél „az áram 90 fokkal (π/2 radiánnal)
késik a feszültséghez képest”.

Ugyanez fordítva megfogalmazva: a feszültség 90°-kal siet az áramhoz képest. A két
megfogalmazás ugyanazt jelenti – de vizsgán figyelj arra, hogy melyiket kérdezik.

Kidolgozott példa 10.7 – Induktív reaktancia két frekvencián
Adat: L = 100 mH = 0,1 H;  a hálózat feszültsége U = 230 V

a) Alapharmonikus, f = 50 Hz:
X_L = 2 · π · f · L
X_L = 6,2832 · 50 1/s · 0,1 H
X_L = 31,42 Ω

Az áram (tiszta induktivitást feltételezve):
I = U / X_L = 230 V / 31,42 Ω = 7,32 A

b) 3. harmonikus, f = 150 Hz:
X_L = 6,2832 · 150 1/s · 0,1 H
X_L = 94,25 Ω          (pontosan háromszorosa)

Ha ezen a frekvencián is 230 V esne a tekercsen:
I = 230 V / 94,25 Ω = 2,44 A     (harmadakkora áram)

Következtetés: a tekercs a magasabb frekvenciájú összetevőket
erősebben korlátozza – ezért használnak fojtótekercset szűrésre.

Fojtótekercs mint áramkorlátozó

A tekercs egyik klasszikus erősáramú alkalmazása az előtétfojtó: olyan áramkorlátozó, amely –
az előtétellenállással szemben – nem termel hőt.

Kidolgozott példa 10.8 – Előtétfojtó méretezése
Feladat: 230 V-os, 50 Hz-es hálózatra olyan fogyasztót kell kötni,
         amely 60 V-on 0,4 A-t vesz fel (ohmos jellegű).
         Mekkora induktivitású fojtótekercs kell elé sorosan?

1. A fogyasztó ohmos ellenállása:
   R = U_R / I = 60 V / 0,4 A = 150 Ω

2. A körben szükséges teljes impedancia:
   Z = U / I = 230 V / 0,4 A = 575 Ω

3. A fojtó reaktanciája (Pitagorasz-tétel, mert R és X_L merőleges):
   X_L = √( Z² − R² )
   X_L = √( 575² − 150² ) Ω
   X_L = √( 330625 − 22500 ) Ω
   X_L = √308125 Ω
   X_L = 555,1 Ω

4. A szükséges induktivitás:
   L = X_L / (2 · π · f)
   L = 555,1 Ω / (6,2832 · 50 1/s)
   L = 555,1 / 314,16  H
   L = 1,767 H

5. Ellenőrzés: mekkora feszültség esik a fojtón?
   U_L = I · X_L = 0,4 A · 555,1 Ω = 222,0 V
   Fazoros összeg: √( 60² + 222² ) = √(3600 + 49284) = √52884 = 230,0 V   ✔

Figyeld meg: 60 V + 222 V = 282 V, ami NEM 230 V.
A részfeszültségek algebrai összege nem adja ki a tápfeszültséget!

10.6 Tiszta kapacitás; kapacitív reaktancia

Mit csinál a kondenzátor a váltakozó árammal?

A 9. fejezetből tudjuk: a kondenzátor egyenáramot nem vezet – a feltöltődés után az áram
megszűnik. Váltakozó árammal viszont más a helyzet: a feszültség folyamatosan változik, ezért a
kondenzátor folyamatosan töltődik és kisül. A töltés áramlása pedig áram. A kondenzátor
tehát váltakozó áramot „átenged” – pontosabban: a fegyverzetek között nem folyik áram, de a
vezetékben igen, mert a töltés oda-vissza mozog.

Minél gyorsabb a váltakozás (minél nagyobb a frekvencia), annál többször tölt és sül ki a
kondenzátor egy másodperc alatt, tehát annál nagyobb áram folyik. Minél nagyobb a kapacitás,
annál több töltés mozog egy ciklusban, tehát annál nagyobb az áram. Mindkét hatás csökkenti
a kondenzátor „ellenállását”.

X_C = 1 / (ω · C) = 1 / (2 · π · f · C)

U_C = I · X_C

A képlet a frekvenciával és a kapacitással is fordítottan arányos – ez a legfontosabb
különbség az induktív reaktanciához képest:

• Nagy frekvencián a kondenzátor „rövidzár”: ezért lehet vele zavarokat a föld felé elvezetni.
• Egyenáramon (f = 0) a reaktancia végtelen: a kondenzátor szakadásként viselkedik – éppen
  ahogy a 9. fejezetben láttuk.

A fázisviszony

A kondenzátornál a legnagyobb áram akkor folyik, amikor a feszültség éppen a leggyorsabban
változik – vagyis a nullaátmenetnél. Amikor a feszültség a csúcson van, a változás pillanatnyilag
megáll, és az áram nulla. Az áram tehát megelőzi a feszültséget.

A forrás megfogalmazása szerint a kondenzátornál „az áram 90 fokkal siet a feszültséghez
képest”.

Kidolgozott példa 10.9 – Kapacitív reaktancia két frekvencián
Adat: C = 30 µF = 30 · 10⁻⁶ F;  U = 230 V

a) f = 50 Hz:
X_C = 1 / (2 · π · f · C)
X_C = 1 / (6,2832 · 50 1/s · 30 · 10⁻⁶ F)
X_C = 1 / (0,009425 1/Ω)
X_C = 106,1 Ω

Az áram:
I = U / X_C = 230 V / 106,1 Ω = 2,17 A

b) f = 250 Hz (5. harmonikus):
X_C = 1 / (6,2832 · 250 · 30 · 10⁻⁶) Ω
X_C = 1 / 0,047124  Ω
X_C = 21,2 Ω          (ötödrésze az 50 Hz-esnek)

Ha ezen a frekvencián 230 V esne rá:
I = 230 V / 21,2 Ω = 10,85 A     (ötszörös áram!)

Következtetés: a kondenzátor a magasabb frekvenciájú összetevőket
sokkal könnyebben átengedi. Ezért terhelik túl a felharmonikusok
a fázisjavító kondenzátorokat – erről a 11. fejezetben lesz szó.

10.7 Soros RL, RC és RLC kör; impedancia, fázisszög, feszültségháromszög

A valóságban tiszta ellenállás, tiszta tekercs és tiszta kondenzátor nem létezik. Minden
tekercsnek van huzalellenállása, minden motornak van tekercsellenállása és induktivitása. Ezért a
gyakorlatban összetett körökkel dolgozunk.

Az impedancia

Z = √( R² + X² )        ahol      X = X_L − X_C

tg φ = X / R            cos φ = R / Z

Figyeljük meg a definíció szerkezetét: az X az eredő reaktancia, amelyben a kapacitív rész
negatív előjellel szerepel. Ennek egyszerű oka van: a tekercs feszültsége fölfelé, a
kondenzátoré lefelé mutat a fazorábrán, tehát egymást rontják.

Az eredő reaktancia előjele mondja meg a kör jellegét:

A soros RL-kör

Ez a leggyakoribb kapcsolás a szakmában: minden tekercselt fogyasztó (motor, transzformátor,
mágneskapcsoló, fojtó, hagyományos fénycsőelőtét) így modellezhető.

Kidolgozott példa 10.10 – Soros RL-kör
Adat: R = 30 Ω;  L = 100 mH;  U = 230 V;  f = 50 Hz

1. Induktív reaktancia:
   X_L = 2 · π · f · L = 6,2832 · 50 · 0,1 = 31,42 Ω

2. Impedancia:
   Z = √( R² + X_L² )
   Z = √( 30² + 31,42² ) Ω
   Z = √( 900 + 987,2 ) Ω
   Z = √1887,2 Ω
   Z = 43,44 Ω

3. Az áram:
   I = U / Z = 230 V / 43,44 Ω = 5,29 A

4. A fázisszög:
   tg φ = X_L / R = 31,42 / 30 = 1,047
   φ = 46,3°           (az áram KÉSIK, mert a kör induktív)

5. A teljesítménytényező:
   cos φ = R / Z = 30 / 43,44 = 0,691
   (ellenőrzés: cos 46,3° = 0,691    ✔)

6. A részfeszültségek:
   U_R = I · R   = 5,29 A · 30 Ω    = 158,7 V
   U_L = I · X_L = 5,29 A · 31,42 Ω = 166,2 V

7. ELLENŐRZÉS – a részfeszültségek fazoros összege:
   U = √( U_R² + U_L² ) = √( 158,7² + 166,2² ) = √(25186 + 27622)
   U = √52808 = 229,8 V ≈ 230 V     ✔

   Az algebrai összeg ezzel szemben:
   158,7 V + 166,2 V = 324,9 V      ✘ EZ NEM A TÁPFESZÜLTSÉG

A feszültségháromszög és az impedancia-háromszög

Ha a 10.6 kidolgozott példa fazorábráját megnézzük, a három feszültségfazor (U_R, U_L és az
eredő U) egy derékszögű háromszöget alkot. Ezt nevezzük feszültségháromszögnek.

Osszuk el a háromszög mindhárom oldalát ugyanazzal a számmal: az árammal (amely soros körben
minden elemre ugyanaz). Ekkor:

U_R / I = R          U_L / I = X_L          U / I = Z

Egy hasonló, de kisebb háromszöget kaptunk, amelynek oldalai R, X_L és Z. Ez az
impedancia-háromszög. A két háromszög hasonló, tehát ugyanaz a φ szög szerepel bennük –
ezért igaz egyszerre az, hogy

cos φ = U_R / U        és        cos φ = R / Z

Ez a hasonlóság a fejezet egyik legelegánsabb összefüggése: a feszültségekből és az
ellenállásokból ugyanaz a szög adódik.

A soros RC-kör

Ugyanez a gondolatmenet kondenzátorral. A különbség csak annyi, hogy a kondenzátor feszültsége a
fazorábrán lefelé mutat, tehát a fázisszög negatív: az áram siet.

Kidolgozott példa 10.11 – Soros RC-kör
Adat: R = 100 Ω;  C = 20 µF;  U = 230 V;  f = 50 Hz

1. Kapacitív reaktancia:
   X_C = 1 / (2 · π · f · C)
   X_C = 1 / (6,2832 · 50 · 20 · 10⁻⁶) Ω
   X_C = 1 / 0,0062832  Ω
   X_C = 159,2 Ω

2. Impedancia:
   Z = √( R² + X_C² )
   Z = √( 100² + 159,2² ) Ω
   Z = √( 10000 + 25345 ) Ω
   Z = √35345 Ω
   Z = 188,0 Ω

3. Az áram:
   I = U / Z = 230 V / 188,0 Ω = 1,22 A

4. A fázisszög:
   tg φ = −X_C / R = −159,2 / 100 = −1,592
   φ = −57,9°          (az áram SIET, mert a kör kapacitív)

5. A teljesítménytényező:
   cos φ = R / Z = 100 / 188,0 = 0,532

6. A részfeszültségek:
   U_R = I · R   = 1,22 A · 100 Ω   = 122,0 V
   U_C = I · X_C = 1,22 A · 159,2 Ω = 194,2 V

7. ELLENŐRZÉS:
   U = √( 122,0² + 194,2² ) = √(14884 + 37714) = √52598 = 229,3 V ≈ 230 V   ✔

A soros RLC-kör

Ha mindhárom elem jelen van, a két reaktancia egymás ellen dolgozik. A fazorábrán az U_L
fölfelé, az U_C lefelé mutat, tehát a kettő különbsége számít.

Kidolgozott példa 10.12 – Soros RLC-kör
Adat: R = 30 Ω;  L = 100 mH;  C = 40 µF;  U = 230 V;  f = 50 Hz

1. A két reaktancia:
   X_L = 6,2832 · 50 · 0,1 = 31,42 Ω
   X_C = 1 / (6,2832 · 50 · 40 · 10⁻⁶) = 1 / 0,012566 = 79,58 Ω

2. Az eredő reaktancia:
   X = X_L − X_C = 31,42 − 79,58 = −48,16 Ω
   Negatív → a kör KAPACITÍV jellegű.

3. Impedancia:
   Z = √( R² + X² )
   Z = √( 30² + 48,16² ) Ω
   Z = √( 900 + 2319,4 ) Ω
   Z = √3219,4 Ω
   Z = 56,74 Ω

4. Az áram:
   I = U / Z = 230 V / 56,74 Ω = 4,05 A

5. A fázisszög:
   tg φ = X / R = −48,16 / 30 = −1,605
   φ = −58,1°          (az áram siet)
   cos φ = R / Z = 30 / 56,74 = 0,529

6. A részfeszültségek:
   U_R = 4,05 A · 30 Ω    = 121,5 V
   U_L = 4,05 A · 31,42 Ω = 127,3 V
   U_C = 4,05 A · 79,58 Ω = 322,3 V     ← NAGYOBB, MINT A TÁPFESZÜLTSÉG!

7. ELLENŐRZÉS – először a reaktáns feszültségek eredője:
   U_X = U_L − U_C = 127,3 − 322,3 = −195,0 V
   U = √( U_R² + U_X² ) = √( 121,5² + 195,0² )
   U = √( 14762 + 38025 ) = √52787 = 229,8 V ≈ 230 V     ✔

10.8 Párhuzamos RLC kör; admittancia, áramháromszög

Mi változik a párhuzamos kapcsolásnál?

Párhuzamos kapcsolásnál minden ágra ugyanaz a feszültség jut, viszont minden ágban más az
áram. Ezért a fazorábra referenciája most a feszültség, és az ágáramokat kell fazorosan
összeadnunk.

Az ágáramok kiszámítása egyszerű, mert minden ágra külön alkalmazhatjuk Ohm törvényét:

I_R = U / R            (a feszültséggel fázisban)
I_L = U / X_L          (90°-kal késik a feszültséghez képest)
I_C = U / X_C          (90°-kal siet a feszültséghez képest)

Mivel az I_L lefelé, az I_C fölfelé mutat a fazorábrán, a kettő egymást rontja:

I = √( I_R² + ( I_L − I_C )² )

A fázisszög:

tg φ = ( I_L − I_C ) / I_R

Az így kapott háromszög az áramháromszög – a soros kör feszültségháromszögének párja.

Az admittancia

Soros körnél az impedanciákat lehetett közvetlenül összegezni; párhuzamos körnél viszont – ahogy
azt az egyenáramú párhuzamos ellenállásoknál is láttuk – a reciprokokkal kényelmesebb dolgozni.

Y = 1 / Z

A párhuzamos kör admittanciájának összetevői:

Kidolgozott példa 10.13 – Párhuzamos RLC-kör
Adat: R = 100 Ω;  X_L = 50 Ω;  X_C = 100 Ω;  U = 230 V

1. Az ágáramok:
   I_R = U / R   = 230 V / 100 Ω = 2,30 A   (fázisban)
   I_L = U / X_L = 230 V / 50 Ω  = 4,60 A   (90°-kal késik)
   I_C = U / X_C = 230 V / 100 Ω = 2,30 A   (90°-kal siet)

2. A reaktáns áramok eredője:
   I_X = I_L − I_C = 4,60 − 2,30 = +2,30 A
   Pozitív → a kör összességében INDUKTÍV.
   (Ugyanaz az előjelszabály, mint a soros körnél: X > 0 → induktív.)

3. A teljes (betáplált) áram:
   I = √( I_R² + I_X² )
   I = √( 2,30² + 2,30² ) A
   I = √( 5,29 + 5,29 ) A
   I = √10,58 A
   I = 3,25 A

4. A fázisszög:
   tg φ = I_X / I_R = +2,30 / 2,30 = +1,000
   φ = +45,0°      (az áram 45°-kal KÉSIK a feszültséghez képest,
                    mert a kör induktív – vö. a 10.7 táblázatával)
   cos φ = 0,707

5. Az eredő impedancia:
   Z = U / I = 230 V / 3,25 A = 70,8 Ω

6. ELLENŐRZÉS admittanciával:
   G   = 1 / 100 Ω = 0,0100 S
   B_L = 1 / 50 Ω  = 0,0200 S
   B_C = 1 / 100 Ω = 0,0100 S
   B   = B_L − B_C = +0,0100 S      (induktív túlsúly)
   Y = √( 0,0100² + 0,0100² ) = √(0,0001 + 0,0001) = √0,0002 = 0,01414 S
   Z = 1 / Y = 1 / 0,01414 S = 70,7 Ω      ✔ egyezik

10.9 Soros és párhuzamos rezonancia; a rezonanciafrekvencia

Mikor lép fel rezonancia?

Láttuk, hogy X_L a frekvenciával nő, X_C pedig csökken. Van tehát pontosan egy olyan frekvencia,
ahol a kettő egyenlő. A forrás megfogalmazása szerint rezonancia akkor van, amikor „a két
látszólagos ellenállás egyenlő”:

X_L = X_C

Vezessük le, melyik frekvenciánál teljesül ez:

Levezetés – a rezonanciafrekvencia

X_L = X_C
ω · L = 1 / (ω · C)
ω² · L · C = 1
ω² = 1 / (L · C)
ω₀ = 1 / √( L · C )

és mivel ω = 2πf :

f₀ = 1 / ( 2 · π · √( L · C ) )

ω₀ = 1 / √( L · C )              f₀ = 1 / ( 2 · π · √( L · C ) )

Soros rezonancia – feszültségrezonancia

Soros körben rezonanciánál X = X_L − X_C = 0, tehát:

• az impedancia minimális: Z = R (csak az ohmos ellenállás marad);
• ezért az áram maximális: I = U / R;
• a tekercsen és a kondenzátoron nagy, egymást kiejtő feszültség jelenik meg.

Az utolsó pont miatt nevezik a soros rezonanciát feszültségrezonanciának: a részfeszültségek
sokszorosan meghaladhatják a tápfeszültséget, miközben az eredőjük nulla.

Kidolgozott példa 10.14 – Soros rezonancia
Adat: R = 30 Ω;  L = 100 mH;  C = 40 µF;  U = 230 V
(ugyanaz a kör, mint a 10.12 kidolgozott példában – ott 50 Hz-en számoltunk)

1. A rezonanciafrekvencia:
   L · C = 0,1 H · 40 · 10⁻⁶ F = 4 · 10⁻⁶
   √( L · C ) = √( 4 · 10⁻⁶ ) = 2 · 10⁻³
   ω₀ = 1 / (2 · 10⁻³) = 500 rad/s
   f₀ = ω₀ / (2π) = 500 / 6,2832 = 79,6 Hz

2. A reaktanciák a rezonanciafrekvencián:
   X_L = ω₀ · L = 500 · 0,1 = 50,0 Ω
   X_C = 1 / (ω₀ · C) = 1 / (500 · 40 · 10⁻⁶) = 1 / 0,02 = 50,0 Ω
   X_L = X_C          ✔ tényleg rezonancia

3. Az impedancia rezonanciában:
   Z = √( R² + 0² ) = R = 30 Ω        (minimális!)

4. Az áram rezonanciában:
   I = U / Z = 230 V / 30 Ω = 7,67 A
   (összehasonlításul: 50 Hz-en ugyanez a kör csak 4,05 A-t vett fel)

5. A részfeszültségek rezonanciában:
   U_R = 7,67 A · 30 Ω = 230,1 V      (a teljes tápfeszültség!)
   U_L = 7,67 A · 50 Ω = 383,5 V
   U_C = 7,67 A · 50 Ω = 383,5 V
   U_L és U_C egymást kiejti (ellentétes irányúak), ezért marad U = U_R.

6. A feszültség-túlemelés mértéke:
   U_L / U = 383,5 / 230 = 1,67-szeres

A 6. lépésben kapott szám nem véletlenül egyezik az X_L / R hányadossal.
Rezonanciában U_L = I · X_L és U = I · R, tehát a kettő hányadosában az
áram kiesik:

Levezetés – a feszültség-túlemelés és a jósági tényező

U_L / U = (I · X_L) / (I · R) = X_L / R        (rezonanciafrekvencián)

Q = X_L / R = X_C / R        (a rezonanciafrekvencián, ahol X_L = X_C)

Párhuzamos rezonancia – áramrezonancia

Párhuzamos körben rezonanciánál az induktív és a kapacitív ágáram egyenlő, és kioltják
egymást. Ekkor:

• a betáplált áram minimális (ideális esetben csak az ohmos ág árama marad);
• ezért az impedancia maximális;
• a két reaktáns ág között viszont nagy körülkeringő áram folyik, amely a betáplálásban nem
  jelenik meg.

Ezért nevezik a párhuzamos rezonanciát áramrezonanciának.

Miért fontos a rezonancia az erősáramban?

Az elektronikában a rezonanciát kihasználják (rádióvevő hangolása, szűrők). Az erősáramban
ezzel szemben többnyire elkerülendő jelenség. Két konkrét ok:

1. A fázisjavító kondenzátor és a hálózat induktivitása rezonanciába kerülhet. Ahogy azt a
forrásunk megfogalmazza: „bármely L és C párhuzamos kapcsolása esetén létezik egy olyan f₀
frekvencia, amelynél a reaktanciák azonosak.” Amikor egy üzemben fázisjavító kondenzátortelepet
kapcsolunk a hálózatra, a kondenzátor és a betápláló transzformátor szórási induktivitása
párhuzamos rezgőkört alkot. Ha ennek a rezgőkörnek a rezonanciafrekvenciája éppen egy jelen lévő
felharmonikus frekvenciájára esik (például az 5. harmonikus 250 Hz-ére), akkor az adott
harmonikus felerősödik, és a kondenzátor túlterhelődik.

2. Ezért használnak fojtott (szűrt) kompenzálást. A kondenzátorral sorba kötött fojtótekercs
eltolja a rezonanciafrekvenciát olyan tartományba, ahol nincs jelentős harmonikus. Ez a
megoldás – a forrás szavaival – „a kondenzátor (és a fojtótekercs) túlterhelésének elkerülése
érdekében” szükséges.

10.10 Nem szinuszos jelek, felharmonikusok – bevezetés

Eddig végig feltételeztük, hogy a feszültség és az áram tiszta szinuszos. A mai hálózaton ez
egyre kevésbé igaz, ezért itt bevezetjük a jelenséget – a részletes tárgyalás a 12. fejezetben
(a nullavezető terhelése) és a 25. fejezetben (teljesítményelektronika) következik.

Honnan származnak a felharmonikusok?

A klasszikus fogyasztók – fűtőszál, izzólámpa, motor – lineárisak: ha szinuszos feszültséget
kapcsolunk rájuk, szinuszos áramot vesznek fel. A modern fogyasztók nagy része viszont
nemlineáris:

• kapcsolóüzemű tápegységek (számítógép, töltő, LED-meghajtó);
• frekvenciaváltók és egyenirányítók;
• fázishasításos fényerőszabályozók;
• elektronikus előtétek.

Ezek nem folyamatosan, hanem szakaszosan, tüskésen vesznek fel áramot – például csak a
feszültséghullám csúcsa körül. Az így felvett áram már nem szinuszos, hanem torzított.

Ez a felbontás nem csak matematikai játék: gyakorlati következménye, hogy a hálózat minden
egyes harmonikust külön frekvenciájú jelként lát. Márpedig a reaktanciák
frekvenciafüggőek – ahogy a 10.5 és 10.6 alfejezetben számoltuk:

• a tekercs a magasabb harmonikusokat erősebben akadályozza;
• a kondenzátor a magasabb harmonikusokat könnyebben átengedi (ezért terhelődnek túl a
  fázisjavító kondenzátorok);
• L és C együtt pedig rezonanciába kerülhet valamelyik harmonikuson (10.9).

Az effektív érték torzított jelnél

Torzított jelnél az effektív érték nem számítható a csúcsérték 0,707-szereseként – az a
szorzó kizárólag szinuszra érvényes. Az effektív érték definíciója (az azonos hőhatás) viszont
továbbra is áll, és a négyzetes középérték tulajdonságából adódik, hogy az összetevők
négyzetesen adódnak össze:

Levezetés – torzított áram effektív értéke

I = √( I₁² + I₃² + I₅² + … )

ahol I₁ az alapharmonikus, I₃, I₅, … a felharmonikusok effektív értéke.

Példa: I₁ = 10 A alapharmonikus + I₃ = 4 A harmadik harmonikus
I = √( 10² + 4² ) A = √(100 + 16) A = √116 A = 10,77 A

A műszer tehát 10,77 A-t mér, miközben „hasznos” áram csak 10 A.

Ebből következik a 6. fejezetben már megismert szabály: torzított jelalaknál csak a valódi
effektív értéket mérő (TRMS) műszer ad helyes eredményt. A nem TRMS-műszer a középértékből
1,11-del számol vissza – de a torzított jel formatényezője nem 1,11.

cos φ és teljesítménytényező – nem ugyanaz

Itt kell tisztázni egy fogalmi különbséget, amely a 11. fejezetben válik igazán fontossá. A
forrásunk pontos megfogalmazása szerint: „míg a (valódi) teljesítménytényező az (50 Hz-es)
hatásos teljesítmény és a harmonikusok teljesítményét valamint a zajok teljesítményét is magába
foglaló látszólagos teljesítmény hányadosa, addig a jó öreg cos φ – a displacement tényező
(DPF) – csak a feszültség és az alapfrekvenciás áram közötti fáziseltolásból származó
alapfrekvenciás meddőteljesítményt veszi figyelembe.”

Előrejelzés: a 3. harmonikus és a nullavezető

A felharmonikusok legsúlyosabb erősáramú következménye a háromfázisú hálózaton jelentkezik.
Röviden: a szimmetrikus terhelésnél megszokott szabály – hogy a nullavezetőben nem folyik
áram – csak szinuszos áramokra igaz. A nemlineáris egyfázisú fogyasztók 3. harmonikus
árama a nullavezetőben nem oltja ki egymást, hanem összeadódik, ezért a nullavezető árama akár a
fázisáramot is meghaladhatja.

Ennek a méretezési következményei (a nullavezető keresztmetszete), a számadatok és a
bizonyítás a 12. fejezetbe tartoznak. Itt csak annyit kell megjegyezned, hogy a felharmonikus
nem elméleti finomság, hanem tűzveszélyt okozó, valóságos jelenség.

10.11 A hálózati feszültség minősége: MSZ EN 50160

A fejezet elején megtanultuk, hogyan írjuk le a szinuszos feszültséget.
Zárásként nézzük meg, mennyire tartja magát a valódi hálózat ehhez az
ideálhoz. Ezt a kérdést szabvány szabályozza: az MSZ EN 50160 rögzíti a
közcélú elosztóhálózaton szolgáltatott feszültség jellemzőit. A jegyzet a
hatályos, MSZ EN 50160:2023 kiadást (2023. április, az EN 50160:2022
nemzeti bevezetése) és annak A1:2025 módosítását használja; a
szakirodalomban gyakran idézett korábbi kiadások (2011, 2021) számai
helyenként eltérnek, ezért a forrás kiadását mindig nézd meg.

A névleges értékek

A magyar közcélú kisfeszültségű hálózat névleges feszültsége az elosztói engedélyes közlése
szerint 400/230 V (vonali/fázis), névleges frekvenciája 50 Hz.

A tűrések

A magyar elosztói gyakorlat

A magyar elosztói engedélyes saját közlése ennél szigorúbb követelményt vállal: a 10 percre
átlagolt értékek 95 %-ának a névleges feszültség ±7,5 %-os tartományában kell lennie,
valamennyi 10 perces átlagértéknek pedig a ±10 %-os tartományba kell esnie.

A két követelményrendszer ugyanúgy épül fel – egy 95 %-os és egy 100 %-os
kritériumból –, ezért tételesen összevethető:

Miért érdekes ez a szerelőnek?

Három nagyon gyakorlatias ok:

1. Reklamáció. Ha az ügyfél feszültségpanasszal jelentkezik, a szolgáltató egyhetes mérést
   végez, és a statisztikai kritérium alapján dönt. Egyetlen pillanatnyi mérés semmit nem
   bizonyít.
2. Méretezés. Az MSZ EN 50160:2023 4.2.2.1 pontjának 1. megjegyzése
   szerint a fogyasztói készülékeket – a termék- és létesítési szabványokkal,
   illetve az IEC 60038 alkalmazásával összhangban – jellemzően a névleges
   feszültség ±10 %-os tartományának elviselésére tervezik, és ez a
   szolgáltatási helyzetek túlnyomó többségét lefedi. A pontos tűrést mindig
   az adott készülékszabvány vagy az adattábla mondja meg; ha egy
   berendezés 207 V-on már nem indul, az önmagában még nem a hálózat hibája.
3. Saját hálózatunk. A fogyasztói hálózaton belüli feszültségesés (a betáplálástól a
   fogyasztóig) hozzáadódik a szolgáltatói tűréshez. Ezért van a belső hálózatra külön,
   szigorúbb feszültségesés-korlát – erről a 16. fejezetben lesz szó.

Tipikus hibák – összefoglaló táblázat

Ellenőrző kérdések

1. Miért nem lehetne a közcélú villamosenergia-rendszert egyenárammal üzemeltetni? Melyik
   berendezés működése kötődik elválaszthatatlanul a váltakozó áramhoz, és miért?
2. Hogyan keletkezik szinuszgörbe egy homogén mágneses térben egyenletesen forgatott
   vezetőkeretben? Melyik keretállásnál nulla, és melyiknél maximális az indukált feszültség?
3. Írd fel a szinuszos feszültség pillanatnyi értékének időfüggvényét, és nevezd meg a
   képletben szereplő összes mennyiséget a mértékegységével együtt!
4. Mi a kapcsolat a periódusidő, a frekvencia és a körfrekvencia között? Mekkora ezek értéke
   50 Hz-es hálózaton?
5. Vezesd le, miért U = Û/√2 az effektív érték szinuszos jelre! Mi az effektív érték
   definíciója?
6. Sorolj fel négy okot, amiért a szakmában effektív értékkel számolunk és nem csúcsértékkel!
7. Mekkora a 230 V-os hálózat csúcsértéke, és milyen gyakorlati következménye van ennek a
   szigetelés és az alkatrészek névleges feszültségének megválasztásakor?
8. Mi a középérték és a formatényező? Hogyan használja a formatényezőt egy nem valódi effektív
   értéket mérő multiméter, és mikor ad ez hibás eredményt?
9. Mi a fazor? Mit jelent a hossza és mit az iránya? Miért szabad a forgó vektorokat állóként
   ábrázolni?
10. Melyik mennyiséget választjuk referenciafazornak soros és melyiket párhuzamos körben, és
    miért éppen azt?
11. Hasonlítsd össze az ellenállás, a tekercs és a kondenzátor viselkedését váltakozó áramban:
    képlet, fázisviszony, frekvenciafüggés!
12. Mit jelent az „ELI the ICE man” memóriasegítség, és mire használható?
13. Miért nem adható össze algebrailag két részfeszültség egy soros váltakozó áramú körben?
    Mutasd be egy konkrét számpéldán!
14. Mi az impedancia-háromszög, és milyen kapcsolatban áll a feszültségháromszöggel? Miért
    ugyanaz a fázisszög a kettőben?
15. Mi a rezonancia feltétele? Hasonlítsd össze a soros és a párhuzamos rezonanciát az
    impedancia, az áram és a veszélyeztetett mennyiség szempontjából!
16. Miért jelent kockázatot a rezonancia a fázisjavító kondenzátorok esetében, és mi a fojtott
    kompenzálás célja?
17. Honnan származnak a felharmonikusok, és miért terhelik meg jobban a kondenzátort, mint az
    alapharmonikus?
18. Mit ír elő az MSZ EN 50160 a frekvenciára és a feszültség nagyságára? Miért hangsúlyozzuk,
    hogy ezek statisztikai követelmények?

Tudáspróba

1. Mekkora a 230 V effektív értékű hálózati feszültség csúcsértéke?
a) 325,3 V b) 230 V c) 162,6 V d) 650,6 V

2. Egy szinuszos jel periódusideje 20 ms. Mekkora a frekvenciája és a körfrekvenciája?
a) 20 Hz és 126 rad/s b) 50 Hz és 50 rad/s
c) 50 Hz és 314 rad/s d) 200 Hz és 1257 rad/s

3. Egy 50 mH induktivitású tekercs reaktanciája 50 Hz-en:
a) 0,157 Ω b) 2,5 Ω c) 157 Ω d) 15,7 Ω

4. Egy 10 µF-os kondenzátor reaktanciája 50 Hz-en:
a) 3,18 Ω b) 31,8 Ω c) 318 Ω d) 3183 Ω

5. Egy soros körben R = 40 Ω és X_L = 30 Ω. Mekkora az impedancia és a teljesítménytényező?
a) Z = 70 Ω és cos φ = 0,57 b) Z = 50 Ω és cos φ = 0,8
c) Z = 50 Ω és cos φ = 0,6 d) Z = 10 Ω és cos φ = 0,8

6. Soros RC-körben (ahol R és C is jelen van) az áram a tápfeszültséghez képest:
a) pontosan 90°-kal siet b) 0 és 90° között késik
c) 0 és 90° között siet d) fázisban van vele

7. Egy soros körben L = 100 mH és C = 25 µF. Mekkora a rezonanciafrekvencia?
a) 100,7 Hz b) 63,7 Hz c) 159,2 Hz d) 318,3 Hz

8. Egy soros RLC-körben U_R = 120 V, U_L = 250 V és U_C = 160 V. Mekkora a tápfeszültség?
a) 530 V b) 277 V c) 200 V d) 150 V

9. Mit mond ki az MSZ EN 50160 a tápfeszültség nagyságára vonatkozóan?
a) a feszültség pillanatnyi értéke egyetlen mérési pillanatban sem térhet el a névlegestől ±10 %-nál jobban
b) a 10 perces effektív értékek legalább 95 %-ának a névleges érték ±10 %-os sávjában kell lennie
c) a frekvencia 10 másodperces átlagértékeinek a hét 100 %-ában ±1 %-on belül kell maradniuk
d) minden egyes félperiódus effektív értékének a névleges érték ±5 %-os sávjában kell lennie

10. Torzított (nem szinuszos) áramnál a valódi teljesítménytényező (PF) és a cos φ viszonya:
a) a PF mindig nagyobb a cos φ-nél b) a PF kisebb a cos φ-nél
c) mindig azonosak d) a PF-nek nincs értelme torzított áramnál

Források

A fejezet forrásjegyzékéhez tartozó megjegyzések – levezetett és ellenőrzésre váró tartalmak: