09. fejezet – Villamos erőtér és kondenzátor; mágneses tér és az indukció

9.1 A villamos erőtér: térerősség, potenciál, erővonalkép

Mi az erőtér, és miért van rá szükségünk?

Eddig azt mondtuk: az áram töltések áramlása a vezetőben, a feszültség pedig „hajtja" az áramot.
Ez a kép jól működik addig, amíg minden a vezetéken belül történik. De a szakmában folyamatosan
olyan jelenségekkel találkozunk, amelyek a vezetőn kívül játszódnak le: átüt a kábel
szigetelése, szikra ugrik a kapcsoló érintkezői között, a kondenzátor tárol valamit két
egymáshoz nem érő fémlemez között. Ezekre a jelenségekre a „töltések áramlása a vezetőben"
kép nem ad magyarázatot.

A magyarázat az erőtér (mező) fogalma. Az erőtér a tér egy olyan tartománya, amelyben egy
odahelyezett próbatestre erő hat. A villamos erőteret villamos töltés hozza létre, és a
benne elhelyezett másik töltésre fejt ki erőt. Az erőtér tehát nem a vezetőben, hanem
a vezetőt körülvevő szigetelő közegben – levegőben, olajban, műanyagban, papírban – létezik,
és a szakmában elkövetett hibák nagy része éppen abból ered, hogy a szerelő csak a vezetőre
figyel, a köztes térre nem.

A villamos térerősség

Az erőtér erősségét azzal jellemezzük, hogy mekkora erőt fejt ki egységnyi töltésre. Ez a
villamos térerősség, jele E.

E = F / Q

A gyakorlatban azonban ritkán mérünk erőt egy töltésen. Sokkal gyakoribb, hogy két fémfelület
között ismerjük a feszültséget, és tudjuk a távolságukat. Ha a két felület párhuzamos
sík, és a köztük lévő tér homogén (mindenütt egyforma), akkor a térerősség egyszerűen:

E = U / d

ahol U a két felület közötti feszültség (V), d a távolságuk (m). Ez a képlet az egész
szigeteléstechnika alapja: megmondja, mekkora igénybevételnek van kitéve a szigetelőanyag.

Erővonalak: a tér lerajzolása

A teret erővonalakkal szemléltetjük. Az erővonal olyan képzeletbeli vonal, amelynek érintője
minden pontban a térerősség irányába mutat; irányát megállapodás szerint a pozitív töltéstől a
negatív felé vesszük fel. Az erővonalak sűrűsége arányos a térerősség nagyságával: ahol
sűrűn futnak, ott erős a tér.

Négy szabály, amelyet minden erővonalképnél alkalmazunk:

1. Az erővonalak pozitív töltésen kezdődnek és negatívon végződnek – önmagukba nem záródnak.
2. Az erővonalak soha nem metszik egymást (egy pontban a térerősségnek egyetlen iránya van).
3. Az erővonalak a vezető felületére mindig merőlegesen lépnek be és ki.
4. Csúcsoknál, éleknél az erővonalak összesűrűsödnek – ott a legnagyobb a térerősség.

Potenciál és feszültség az erőtérben

Amikor egy töltést az erőtérben elmozdítunk, munkát végzünk (vagy a tér végez munkát rajtunk).
Ebből következik, hogy a tér minden pontjához hozzárendelhető egy potenciál: az a helyzeti
energia, amellyel az odahelyezett egységnyi töltés rendelkezik. A potenciált mindig egy önkényesen
választott nullponthoz (általában a földhöz) viszonyítjuk.

U_AB = φ_A − φ_B

Ez a fogalom a 8. fejezetben már megjelent a csomóponti potenciálok módszerénél; ott ugyanezt a
gondolatot használtuk hálózatszámításra. Az erősáramban a földpotenciál a természetes vonatkoztatási
pont, és minden érintésvédelmi megfontolás (32–35. fejezet) potenciálkülönbségekről szól.

Vezető és szigetelő a villamos térben

A két anyagtípus gyökeresen másképp viselkedik a térben, és ezt a különbséget a szakma
folyamatosan kihasználja.

A vezető belsejében tehát nincs villamos tér: a szabad töltések azonnal úgy rendeződnek át a
felületen, hogy a belső teret kioltsák. Ezért árnyékol a fém burkolat, és ezért marad
biztonságban a földelt fémházban ülő ember – ez a Faraday-kalitka elve, amelyre az árnyékolt
kábelek és a nagyfeszültségű FAM-munkavégzés vezetőruhája is épül.

A szigetelőben viszont a tér nem tűnik el. A szigetelőanyag molekulái polarizálódnak: a
pozitív és a negatív töltésközéppontjuk kismértékben elmozdul egymáshoz képest, és ez a
rendeződés gyengíti a belső teret, azaz ugyanakkora feszültséghez több töltést lehet a
fegyverzetekre vinni. Ezt a jelenséget mennyiségileg a relatív permittivitás fejezi ki.

A villamos eltolás és a permittivitás

A villamos eltolás (D) azt mondja meg, mekkora töltés jut a felület egységnyi részére. Az
E és a D közötti kapcsolatot az anyag teremti meg: D = ε₀ · ε_r · E. A vákuum (és jó
közelítéssel a levegő) esetén ε_r = 1; minden más szigetelőanyagnál ε_r > 1.

9.2 Szigetelőanyagok a villamos térben; átütés, átütési szilárdság, kúszóáram

Miért adja meg magát a szigetelő?

A szigetelőanyag nem attól szigetel, hogy „nincs benne töltés", hanem attól, hogy a töltéshordozói
kötöttek. Ha azonban a térerősség elér egy anyagra jellemző értéket, a kötés felszakad: az
elektronok kiszabadulnak, ütközéseikkel újabb elektronokat szabadítanak ki, és lavinaszerű
folyamat indul. Az anyag pillanatszerűen vezetővé válik – ez az átütés.

Ez az egyetlen mondat a szigeteléstechnika teljes tervezési logikáját tartalmazza. Ha ismerjük az anyag
átütési szilárdságát (E_á, kV/mm) és a berendezés üzemi feszültségét (U), akkor a szükséges
szigetelésvastagság:

d ≥ U / E_á     (biztonsági tényezővel megszorozva)

Gyakorlatban soha nem az átütési szilárdság határáig terhelünk: biztonsági tényezőt
alkalmazunk, mert az anyag öregszik, nedvesedik, szennyeződik, mechanikailag sérül, és mert
a tér a valóságban sohasem tökéletesen homogén.

Mi történik átütéskor a gyakorlatban?

Az átütés következménye attól függ, milyen az anyag:

Ez a különbség magyarázza, miért nem alkalmazunk visszakapcsoló automatikát kábelhálózaton:
ott a hiba tartós, a visszakapcsolás csak újabb kárt okozna.

A légrés mint szigetelő – és a szakma egyik alapfogása

Mivel a levegő átütés után regenerálódik, és mivel olcsó, a légköz (levegőn át mért
legrövidebb távolság) a kapcsolókészülékek természetes szigetelője. Ezért van minden
kapcsolókészülék adatlapján előírt érintkezőtávolság, és ezért nem szabad a kontaktorok,
megszakítók belsejébe idegen anyagot juttatni.

A kúszóáram alattomos jelenség: az átütéssel ellentétben nem pillanatszerű. Először csak
apró, alig mérhető áram folyik a szennyezett felületen, ez lokálisan melegít, a felület
elszenesedik, a szenes nyom pedig még jobban vezet – a folyamat magát erősíti, míg végül
ívesedéshez és tűzhöz vezet. Ezért írja elő a szabvány a légközök és a kúszóáramutak
minimális méretét a kapcsolóberendezésekben, ezért része a szigetelési ellenállás
mérése az időszakos felülvizsgálatnak (37. fejezet), és ezért szerepel a lecsökkent szigetelési
ellenállás a villamos eredetű tüzek okai között.

9.3 A kondenzátor: kapacitás, soros és párhuzamos kapcsolás, energia

A kondenzátor felépítése és a kapacitás

Ha két fémlemezt egymással szemben, szigetelőanyaggal elválasztva helyezünk el, és feszültséget
kapcsolunk rájuk, az egyik lemezre pozitív, a másikra ugyanakkora negatív töltés kerül. A töltések
a köztük lévő villamos erőtér révén tartják egymást. Ez a kondenzátor: olyan alkatrész,
amelynek egyetlen feladata a villamos erőtér – és a benne tárolt energia – megőrzése.

Részei:

• a két fegyverzet (lemez) – vezető anyag, ide kerül a töltés;
• a dielektrikum – a fegyverzetek közötti szigetelőanyag;
• a kivezetések és a tokozás.

C = Q / U

A töltés ebből átrendezve: Q = C · U. Ez a jegyzet egyik legfontosabb képlete – a
kondenzátorok soros kapcsolásánál, a kisütésnél és a fázisjavításnál egyaránt ezt használjuk.

A síkkondenzátor kapacitása

A kapacitás nem „varázsszám", hanem a geometriából és az anyagból számítható:

C = ε₀ · ε_r · A / d

ahol A a fegyverzetek egymással szemben álló felülete (m²), d a köztük lévő távolság (m),
ε_r a dielektrikum relatív permittivitása.

Három tanulság olvasható ki a képletből, és mind a hármat használni fogjuk:

1. Nagyobb felület → nagyobb kapacitás. Ezért tekercselik a fóliakondenzátorokat hengerbe:
   így nagy felület fér el kis térfogatban.
2. Kisebb lemeztávolság → nagyobb kapacitás (fordított arány). De a kisebb d egyben
   nagyobb térerősséget is jelent ugyanakkora feszültségnél (E = U/d) – ezért nem lehet
   tetszőlegesen vékonyítani. A kapacitás és a feszültségtűrés egymás ellen dolgozik:
   ez a kondenzátorgyártás alapvető kompromisszuma.
3. Nagyobb ε_r → nagyobb kapacitás. Ezért nem levegő van a fegyverzetek között, hanem
   polipropilén, papír, kerámia vagy oxidréteg.

Kidolgozott mintapélda 1. – Síkkondenzátor kapacitása, töltése, térerőssége, energiája
Egy fóliakondenzátor fegyverzetei 200 mm × 150 mm méretűek, közöttük 0,2 mm vastag
szigetelőfólia van, amelynek relatív permittivitása a gyártói adatlap szerint ε_r = 2,2.
A kondenzátorra 400 V-ot kapcsolunk. Mekkora a kapacitása, a rátárolt töltés, a
dielektrikumban ébredő térerősség és a tárolt energia?

Adatok:
  a = 200 mm = 0,200 m ;  b = 150 mm = 0,150 m
  d = 0,2 mm = 0,2 · 10⁻³ m ;  ε_r = 2,2 ;  U = 400 V
  ε₀ = 8,85 · 10⁻¹² F/m

1. lépés – a fegyverzet felülete:
     A = a · b = 0,200 m · 0,150 m = 0,030 m²

2. lépés – a kapacitás:
     C = ε₀ · ε_r · A / d
     C = 8,85·10⁻¹² F/m · 2,2 · 0,030 m² / (0,2·10⁻³ m)
     A számláló:  8,85·10⁻¹² · 2,2 = 19,47·10⁻¹²
                  19,47·10⁻¹² · 0,030 = 0,5841·10⁻¹²
     C = 0,5841·10⁻¹² / 0,2·10⁻³ = 2,92·10⁻⁹ F = 2,92 nF

3. lépés – a tárolt töltés:
     Q = C · U = 2,92·10⁻⁹ F · 400 V = 1,168·10⁻⁶ C ≈ 1,17 µC

4. lépés – a térerősség a dielektrikumban (homogén tér, ezért E = U/d):
     E = U / d = 400 V / (0,2·10⁻³ m) = 2·10⁶ V/m = 2 kV/mm

5. lépés – a tárolt energia:
     W = ½ · C · U² = 0,5 · 2,92·10⁻⁹ F · (400 V)²
     W = 0,5 · 2,92·10⁻⁹ · 160 000 = 2,34·10⁻⁴ J = 0,234 mJ

Ellenőrzés más úton:  W = ½ · Q · U = 0,5 · 1,168·10⁻⁶ C · 400 V = 2,34·10⁻⁴ J  – egyezik.

Értékelés: a 2 kV/mm térerősségnek a fólia átütési szilárdsága alatt kell maradnia –
ezt az adatlapból kell ellenőrizni. A tárolt energia ennél a kis kondenzátornál
elhanyagolható; a 3. mintapéldában látni fogjuk, hogy nagyobb kapacitásnál ez
életveszélyes nagyságrendbe kerül.

Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása

Párhuzamos:   C_e = C₁ + C₂ + … + Cₙ                (a kapacitások összeadódnak)
Soros:        1/C_e = 1/C₁ + 1/C₂ + … + 1/Cₙ ;      két elemnél:  C_e = C₁·C₂ / (C₁+C₂)

Miért éppen fordítva, mint az ellenállásoknál? Mert a képletek mögötti fizika is fordított:

• Párhuzamos kapcsolásnál minden kondenzátorra ugyanaz a feszültség jut, a töltések pedig
  összeadódnak (Q_ö = Q₁ + Q₂). Mivel C = Q/U, az azonos U mellett összeadódó töltés
  összeadódó kapacitást jelent. Szemléletesen: a párhuzamos kapcsolás megnöveli az összes
  fegyverzetfelületet, és C ~ A.
• Soros kapcsolásnál minden kondenzátoron ugyanaz a töltés ül (a közbenső fegyverzetek
  töltése csak szétválik, nem keletkezik újabb), a feszültségek viszont összeadódnak. Szemléletesen:
  a soros kapcsolás megnöveli az eredő lemeztávolságot, és C ~ 1/d.

Kidolgozott mintapélda 2. – Vegyes kondenzátorkapcsolás eredője és feszültségmegoszlása
C₁ = 10 µF és C₂ = 15 µF párhuzamosan van kötve; ezzel sorosan kapcsolódik C₃ = 10 µF.
A kapcsolásra U = 200 V feszültséget adunk. Mekkora az eredő kapacitás, mekkora töltés
tárolódik, és hogyan oszlik meg a feszültség? Milyen névleges feszültségű kondenzátorokat
kell választani?

Adatok:  C₁ = 10 µF ;  C₂ = 15 µF ;  C₃ = 10 µF ;  U = 200 V

1. lépés – a párhuzamos rész eredője (a kapacitások összeadódnak):
     C₁₂ = C₁ + C₂ = 10 µF + 15 µF = 25 µF

2. lépés – a soros eredő (két elem, ezért a szorzat/összeg alak használható):
     C_e = C₁₂ · C₃ / (C₁₂ + C₃) = 25 µF · 10 µF / (25 µF + 10 µF)
     C_e = 250 / 35 µF = 7,14 µF
     Ellenőrzés: 7,14 µF < 10 µF – az eredő kisebb a legkisebb soros tagnál. Helyes.

3. lépés – a kapcsolásban tárolt töltés (soros ágban mindenütt ugyanannyi):
     Q = C_e · U = 7,14·10⁻⁶ F · 200 V = 1,43·10⁻³ C = 1,43 mC

4. lépés – a feszültségmegoszlás:
     U₁₂ = Q / C₁₂ = 1,43·10⁻³ C / 25·10⁻⁶ F = 57,1 V
     U₃  = Q / C₃  = 1,43·10⁻³ C / 10·10⁻⁶ F = 142,9 V
     Ellenőrzés:  57,1 V + 142,9 V = 200,0 V  – helyes.

5. lépés – az egyes töltések a párhuzamos ágban:
     Q₁ = C₁ · U₁₂ = 10·10⁻⁶ · 57,1 = 571 µC
     Q₂ = C₂ · U₁₂ = 15·10⁻⁶ · 57,1 = 857 µC
     Összeg: 571 + 857 = 1428 µC ≈ 1,43 mC  – egyezik a 3. lépéssel.

6. lépés – a névleges feszültség megválasztása:
     C₃-ra 142,9 V jut, C₁-re és C₂-re 57,1 V. A gyakorlatban legalább 1,5–2-szeres
     tartalékkal választunk, és a kereskedelmi feszültségsorból felfelé kerekítünk:
     C₃-hoz 250 V-os (250 / 142,9 = 1,75-szörös tartalék), C₁–C₂-höz 100 V-os
     (100 / 57,1 = 1,75-szörös tartalék) típus a legkisebb megfelelő választás.

⚠ Tanulság: SOROS kapcsolásban a KISEBB kapacitásra jut a NAGYOBB feszültség.
   Ez pontosan fordítva van, mint ellenállásoknál, ahol a nagyobb ellenálláson esik több.

A kondenzátorban tárolt energia

A feltöltött kondenzátor a villamos erőtérben energiát tárol:

W = ½ · C · U²  =  ½ · Q · U

ahol W a tárolt energia (J), C a kapacitás (F), U a feszültség (V), Q a töltés (C).

A képlet legfontosabb üzenete a négyzetes feszültségfüggés: a feszültség megkétszerezése az
energiát négyszeresére növeli. Ez az oka annak, hogy a nagyfeszültségű vagy egyenfeszültségű
köztes körrel dolgozó berendezések (frekvenciaváltók, egyenirányítók, UPS-ek) kondenzátorai
komoly veszélyt jelentenek.

Kidolgozott mintapélda 3. – A tárolt energia és a kisütés szükségessége
(a) Egy egyfázisú fázisjavító kondenzátor kapacitása C = 30 µF, üzemi feszültsége
    U = 400 V. Mekkora a rátárolt töltés és a tárolt energia?
(b) Egy frekvenciaváltó egyenáramú köztes körében C = 470 µF kapacitás van, a köztes
    kör feszültsége U = 560 V. Mekkora az itt tárolt energia?

(a) Fázisjavító kondenzátor
1. lépés – a töltés:
     Q = C · U = 30·10⁻⁶ F · 400 V = 12·10⁻³ C = 12 mC
2. lépés – az energia:
     W = ½ · C · U² = 0,5 · 30·10⁻⁶ F · (400 V)²
     W = 0,5 · 30·10⁻⁶ · 160 000 = 2,4 J

(b) Frekvenciaváltó köztes köre
3. lépés – az energia:
     W = ½ · C · U² = 0,5 · 470·10⁻⁶ F · (560 V)²
     (560 V)² = 313 600 V²
     W = 0,5 · 470·10⁻⁶ · 313 600 = 73,7 J

4. lépés – összehasonlítás:
     73,7 J / 2,4 J ≈ 31-szeres energia.
     Az arány két okból ilyen nagy: a kapacitás 15,7-szeres ÉS a feszültség
     négyzetesen számít ((560/400)² = 1,96).

Értékelés: a 2,4 J is bőven elég ahhoz, hogy egy váratlan kisülés megrántsa a kezet,
és a szerelő leessen a létráról; a 73,7 J már közvetlenül is súlyos sérülést okozhat.
Mindkét berendezésen KÖTELEZŐ a kisütés a munka megkezdése előtt.

9.4 A kondenzátor töltése és kisütése; időállandó

Miért nem pillanatszerű a töltődés?

Ha egy kondenzátort ellenálláson keresztül kapcsolunk feszültségforrásra, a töltés nem
azonnal kerül a fegyverzetekre: az áramot az ellenállás korlátozza. A bekapcsolás pillanatában a
kondenzátor még üres, feszültsége nulla, tehát az egész forrásfeszültség az ellenállásra jut, és
az áram a lehető legnagyobb:

I₀ = U / R

Ahogy a kondenzátor töltődik, a feszültsége nő, az ellenállásra jutó feszültség (és így az áram)
csökken, a töltődés lassul. A folyamat elvben soha nem ér véget, gyakorlatilag azonban néhány
lépés után befejezettnek tekinthető.

Az időállandó – levezetéssel

U = i · R + u_C           (huroktörvény a soros RC-körre)
i = ΔQ / Δt = C · Δu_C / Δt   (a töltés változási sebessége az áram)

R · C · (Δu_C / Δt) + u_C = U

τ = R · C            [s] = [Ω] · [F]

A fenti egyenlet megoldása – matematikai levezetés eredménye, nem külön fizikai állítás – a
töltésre és a kisütésre a következő:

Töltés:   u_C(t) = U · (1 − e^(−t/τ))        i(t) = (U/R) · e^(−t/τ)
Kisütés:  u_C(t) = U₀ · e^(−t/τ)             i(t) = (U₀/R) · e^(−t/τ)

Számokban ez a következő táblázatot adja. Ezt a táblázatot érdemes fejben tartani – a
gyakorlati becslések 90 %-ához elég:

Kidolgozott mintapélda 4. – RC-időállandó, töltés és kisütés
Egy C = 100 µF kondenzátort R = 22 kΩ ellenálláson keresztül U = 230 V egyenfeszültségre
kapcsolunk. (a) Mekkora az időállandó és a bekapcsolási áram? (b) Mekkora a kondenzátor
feszültsége 2,2 s, illetve 6,6 s múlva? (c) A tápfeszültség lekapcsolása után ugyanezen
az ellenálláson keresztül sül ki. Mennyi idő alatt csökken a feszültsége 12 V alá?

Adatok:  C = 100 µF = 100·10⁻⁶ F ;  R = 22 kΩ = 22·10³ Ω ;  U = 230 V

1. lépés – az időállandó:
     τ = R · C = 22·10³ Ω · 100·10⁻⁶ F = 2,2 s
     (Mértékegység-ellenőrzés: Ω · F = (V/A) · (A·s/V) = s.  Helyes.)

2. lépés – a bekapcsolási (kezdeti) áram:
     I₀ = U / R = 230 V / 22·10³ Ω = 10,45·10⁻³ A = 10,45 mA

3. lépés – a feszültség t = 2,2 s = 1 τ múlva (a táblázat szerint 63,2 %):
     u_C = 0,632 · 230 V = 145,4 V

4. lépés – a feszültség t = 6,6 s = 3 τ múlva (95,0 %):
     u_C = 0,950 · 230 V = 218,5 V

5. lépés – a gyakorlatilag teljes feltöltődés ideje:
     5 τ = 5 · 2,2 s = 11 s

6. lépés – a kisütésnél a 12 V eléréséhez szükséges idő:
     A maradék arány:  12 V / 230 V = 0,0522 = 5,22 %
     A táblázatból: 3 τ-nál 5,0 % marad, azaz a 12 V-ot valamivel 3 τ ELŐTT érjük el.
     3 τ = 3 · 2,2 s = 6,6 s, tehát kb. 6,5 s után a feszültség 12 V alá csökken.
     Biztonságos becslés a gyakorlathoz: 5 τ = 11 s.

Értékelés: ez a kisütőellenállás jól méretezett – 11 másodperc alatt gyakorlatilag
teljesen kisüti a kondenzátort. Ha nagyobb C-t vagy nagyobb R-t választanánk,
arányosan hosszabb ideig kellene várni. A kisütés tényét azonban MÉRÉSSEL kell
ellenőrizni, nem az órával.

9.5 A mágneses tér: indukció, térerősség, fluxus, permeabilitás

A második erőtér

A villamos erőteret álló töltés hozza létre. A mágneses teret ezzel szemben mozgó
töltés, azaz áram. Ez a legfontosabb különbség: nincs áram – nincs mágneses tér.
(Az állandó mágnesek tere is végső soron az atomokon belüli töltésmozgásokra vezethető vissza.)

A mágneses tér három tulajdonságában különbözik a villamostól, és e három különbség ismerete
a legtöbb félreértést megelőzi:

1. Az erővonalai önmagukba záródnak. Nincs „mágneses töltés", amin kezdődhetnének vagy
   végződhetnének. A mágnes belsejében is folytatódnak, a déli pólustól az északi felé.
2. Nem lehet a két pólust szétválasztani. Ha egy rúdmágnest kettétörünk, két teljes
   mágnest kapunk, mindegyiknek É és D pólusa lesz.
3. Csak mozgó töltésre fejt ki erőt. Egy nyugvó töltésre a mágneses tér nem hat.

A négy alapmennyiség

Nézzük végig, mit jelentenek – mert a H és a B összekeverése ennek a témakörnek a
leggyakoribb tanulói hibája.

H = Θ / l = N · I / l

B = μ₀ · μ_r · H

Φ = B · A

μ = μ₀ · μ_r

9.6 Az áramjárta vezető mágneses tere; tekercs, elektromágnes

Az egyenes vezető tere és a jobbkézszabály

Az egyenes, árammal átjárt vezető körül a mágneses erővonalak koncentrikus körökben futnak,
a vezetőre merőleges síkban. Az erővonalak iránya az áram irányától függ, és ezt a jobbkézszabály
adja meg.

A két szabály ugyanaz a szabály, csak fordított szereposztásban – ezért elég egyet megtanulni,
és a másikat abból „kicsavarni".

A tekercs tere és az elektromágnes

Ha a vezetőt tekerccsé csavarjuk, az egyes menetek tere összeadódik: a tekercs belsejében erős,
közel homogén tér alakul ki, kívül pedig a rúdmágneséhez hasonló erővonalkép. A tekercs mágneses
hatását a gerjesztés jellemzi:

Θ = N · I

ahol N a menetszám, I az áram (A). A gerjesztés mértékegysége hivatalosan az amper; a
szakmában az ampermenet elnevezés is használatos, mert kifejezi, hogy a menetszám és az áram
egyenrangúan számít. 250 menet 2 A-rel ugyanakkora gerjesztést ad, mint 500 menet 1 A-rel.

A gerjesztésnek van egy másik, számítás szempontjából még fontosabb alakja is:

Θ = N · I = H · l

Ez a gerjesztési törvény használható alakja: az áram által létrehozott gerjesztés egyenlő
a mágneses térerősség és az erővonalút hosszának szorzatával. Ebből következik a térerősség
képlete: H = N · I / l.

Ha a tekercsbe ferromágneses vasmagot teszünk, a μ_r ezerszeres nagyságrendű ugrása miatt a
B indukció (és így a fluxus) drámaian megnő ugyanakkora áram mellett – ez az elektromágnes.
Az elektromágnes az egész erősáramú szakma alapeleme:

9.7 A mágneses kör és Hopkinson törvénye

Az analógia, amely mindent egyszerűvé tesz

A mágneses kör számítása azért tanulható meg gyorsan, mert pontosan ugyanaz a matematika,
mint a 2. fejezetben megtanult egyenáramú köré. Csak a szereplők neve más:

Φ = Θ / R_m           illetve átrendezve:  Θ = R_m · Φ

A reluktancia képlete – levezetéssel

Θ = H · l          (a gerjesztési törvény használható alakja, 9.6)
Φ = B · A          (a fluxus definíciója, 9.5)
B = μ · H          (az anyagegyenlet, μ = μ₀ · μ_r, 9.5)

         Θ        H · l          H · l              l
R_m =  ─────  =  ───────  =  ─────────────  =  ─────────
         Φ        B · A        μ · H · A         μ · A

Vesd össze a villamos kör R = ρ · l / A képletével: a szerkezet azonos, csak a fajlagos
ellenállás (ρ) helyén a permeabilitás reciproka áll. Ez logikus, hiszen a μ nem „ellenállást",
hanem „vezetőképességet" fejez ki.

Kidolgozott mintapélda 5. – Mágneses kör: gerjesztés, menetszám, reluktancia
Egy zárt, gyűrű alakú (toroid) vasmag közepes erővonalhossza l = 0,40 m, keresztmetszete
A = 4 cm², relatív permeabilitása a mágnesezési görbéről leolvasva μ_r = 2000.
A vasmagban Φ = 0,4 mWb fluxust akarunk létrehozni.
(a) Mekkora indukció és térerősség tartozik ehhez? (b) Mekkora gerjesztés szükséges?
(c) Hány menet kell, ha az áram I = 0,5 A? (d) Mekkora a mag reluktanciája?
(e) Mekkora energiát tárol a mágneses tér?

Adatok:
  l = 0,40 m ;  A = 4 cm² = 4·10⁻⁴ m² ;  μ_r = 2000 ;  Φ = 0,4 mWb = 4·10⁻⁴ Wb
  μ₀ = 1,257·10⁻⁶ Vs/(A·m) ;  I = 0,5 A

1. lépés – a mágneses indukció (a fluxus definíciójából):
     B = Φ / A = 4·10⁻⁴ Wb / 4·10⁻⁴ m² = 1,0 T

2. lépés – a permeabilitás:
     μ = μ₀ · μ_r = 1,257·10⁻⁶ · 2000 = 2,514·10⁻³ Vs/(A·m)

3. lépés – a mágneses térerősség (az anyagegyenletből):
     H = B / μ = 1,0 T / 2,514·10⁻³ = 397,8 A/m ≈ 398 A/m

4. lépés – a szükséges gerjesztés (a gerjesztési törvényből):
     Θ = H · l = 397,8 A/m · 0,40 m = 159,1 A  (ampermenet)

5. lépés – a menetszám:
     N = Θ / I = 159,1 A / 0,5 A = 318,3  →  N = 319 menet
     (Felfelé kerekítünk: a kevesebb menet kevesebb fluxust adna.)

6. lépés – a reluktancia (a levezetett képlettel):
     R_m = l / (μ · A) = 0,40 m / (2,514·10⁻³ · 4·10⁻⁴ m²)
     A nevező: 2,514·10⁻³ · 4·10⁻⁴ = 1,0056·10⁻⁶
     R_m = 0,40 / 1,0056·10⁻⁶ = 3,98·10⁵  1/H

7. lépés – ellenőrzés Hopkinson törvényével:
     Φ = Θ / R_m = 159,1 A / 3,98·10⁵ = 4,0·10⁻⁴ Wb = 0,4 mWb   – egyezik.

8. lépés – a tárolt mágneses energia:
     W = ½ · Φ · Θ = 0,5 · 4·10⁻⁴ Wb · 159,1 A = 0,0318 J = 31,8 mJ
     Ellenőrzés az energiasűrűség alakjával (V = A · l a mag térfogata):
     V = 4·10⁻⁴ m² · 0,40 m = 1,6·10⁻⁴ m³
     W = ½ · B · H · V = 0,5 · 1,0 T · 397,8 A/m · 1,6·10⁻⁴ m³ = 0,0318 J  – egyezik.

A légrés hatása – a mágneses kör legfontosabb gyakorlati tanulsága

A valóságos mágneses körökben szinte mindig van légrés: a mágneskapcsoló armatúrája és a
mag között, a motor állórésze és forgórésze között, a fojtótekercs magjában szándékosan
kialakítva. A légrés reluktanciája sorosan kapcsolódik a vasmagéhoz:

R_m,ö = R_m,vas + R_m,légrés

A meglepő eredmény az, hogy egy néhány tized milliméteres légrés is uralhatja az egész kört –
mert a levegő μ_r-je 1, a vasé viszont több ezer, és a reluktancia a permeabilitással fordítottan
arányos.

Kidolgozott mintapélda 6. – A légrés hatása a mágneses körre
Az előző példa vasmagjába δ = 1 mm-es légrést vágunk (a többi adat változatlan:
l_összes = 0,40 m, A = 4 cm², μ_r,vas = 2000, kívánt Φ = 0,4 mWb).
Mekkora gerjesztés kell most, és hány menet, ha I = 0,5 A?

Adatok: δ = 1 mm = 1·10⁻³ m ;  l_vas = 0,40 m − 0,001 m = 0,399 m

1. lépés – a vasrész reluktanciája:
     μ_vas = 1,257·10⁻⁶ · 2000 = 2,514·10⁻³
     R_m,vas = l_vas / (μ_vas · A) = 0,399 / (2,514·10⁻³ · 4·10⁻⁴)
     R_m,vas = 0,399 / 1,0056·10⁻⁶ = 3,97·10⁵  1/H

2. lépés – a légrés reluktanciája (levegőre μ_r = 1):
     μ_levegő = 1,257·10⁻⁶ · 1 = 1,257·10⁻⁶
     R_m,légrés = δ / (μ_levegő · A) = 1·10⁻³ / (1,257·10⁻⁶ · 4·10⁻⁴)
     A nevező: 1,257·10⁻⁶ · 4·10⁻⁴ = 5,028·10⁻¹⁰
     R_m,légrés = 1·10⁻³ / 5,028·10⁻¹⁰ = 1,99·10⁶  1/H

3. lépés – az eredő reluktancia (soros összegzés):
     R_m,ö = 3,97·10⁵ + 1,99·10⁶ = 2,39·10⁶  1/H

4. lépés – a szükséges gerjesztés:
     Θ = Φ · R_m,ö = 4·10⁻⁴ Wb · 2,39·10⁶ = 954 A (ampermenet)

5. lépés – a menetszám I = 0,5 A esetén:
     N = Θ / I = 954 / 0,5 = 1908 menet

6. lépés – összehasonlítás a légrés nélküli esettel:
     Gerjesztés:  954 A / 159 A = 6,0-szeres
     A légrés részesedése az eredő reluktanciából:
       1,99·10⁶ / 2,39·10⁶ = 0,834 = 83,4 %

⭐ Tanulság: a mágneses kör hosszának mindössze 0,25 %-át kitevő légrés
   a teljes reluktancia 83 %-át adja, és HATSZOROSÁRA növeli a szükséges
   gerjesztést. Ezért kell a mágneskapcsoló magfelületeit tisztán tartani, ezért
   nő meg a kontaktor tekercsáram-igénye, ha az armatúra nem zár rendesen, és
   ezért kritikus a villamos gépek légrésének pontos beállítása.

9.8 Ferromágneses anyagok, mágnesezési görbe, hiszterézis

Miért különlegesek a ferromágneses anyagok?

A legtöbb anyag relatív permeabilitása gyakorlatilag 1: mágnesesen ugyanúgy viselkednek, mint a
vákuum. Néhány anyag – a vas, a nikkel, a kobalt és ötvözeteik – viszont
ferromágneses: bennük a μ_r több száz vagy több ezer is lehet. Ez teszi lehetővé, hogy egy
kis tekercs nagy fluxust hozzon létre, és ezért van vasmagja minden transzformátornak,
motornak, generátornak, kontaktornak.

Az ár, amit ezért fizetünk, kétféle:

1. a ferromágneses anyag viselkedése nemlineáris (telítés);
2. az átmágnesezés veszteséggel jár (hiszterézis és örvényáram – 9.9 alfejezet).

Az első mágnesezési görbe és a telítés

Ha egy még soha nem mágnesezett vasmagon fokozatosan növeljük a H térerősséget, és mérjük a
kialakuló B indukciót, jellegzetes, nem egyenes görbét kapunk. Ezt nevezzük első
mágnesezési görbének. Három szakasza van:

A telítésnek súlyos gyakorlati következményei vannak:

• A telített vasmagú tekercs árama ugrásszerűen megnő, mert az induktivitása lecsökken.
  Ez a transzformátorok bekapcsolási áramlökésének egyik oka.
• A telített vasmagú áramváltó mérése meghamisodik – zárlati áramnál ez védelmi problémát
  okoz (18. fejezet).
• Telített vasmagra a szuperpozíció elve nem alkalmazható (8. fejezet): a szuperpozíció
  csak lineáris hálózatokra érvényes.

A hiszterézishurok

Ha a mágnesezést nem egyirányúan végezzük, hanem váltakozó irányban (ahogy a hálózati
frekvenciájú berendezésekben történik: másodpercenként ötvenszer oda-vissza, azaz százszor
átmágnesezve), akkor a B = f(H)
összefüggés nem egyértelmű: az indukció értéke függ az anyag előéletétől.

„Ezt a jelenséget mágneses hiszterézisnek, a görbét hiszterézishuroknak, a még fel nem
mágnesezett anyagra jellemző, nem ismétlődő görbét pedig első mágnesezési görbének nevezzük."

A hurok négy nevezetes pontja:

A negyedik jellemző pont a telítési indukció (B_s): a hurok felső, ellaposodó vége.

Lágy- és keménymágneses anyagok

A koercitív erő nagysága alapján a ferromágneses anyagok két, gyakorlatilag ellentétes célra
használt csoportra oszlanak:

A logika egyszerű, és érdemes egyetlen mondatban megjegyezni: ha az anyagot másodpercenként
ötvenszer oda-vissza (azaz százszor át) kell mágnesezni, lágymágneses kell (mert a keskeny hurok kis veszteséget jelent);
ha viszont azt akarjuk, hogy megtartsa a mágnesességét, keménymágneses kell (mert a széles
hurok azt jelenti, hogy nehéz „lerontani").

9.9 Vasveszteségek: hiszterézis- és örvényáram-veszteség, a lemezelés szerepe

Amikor a vasmagot váltakozó tér mágnesezi át, két, egymástól független folyamat alakít
villamos energiát hővé. Együtt ezeket nevezzük vasveszteségnek. A transzformátor és a
forgógépek hatásfokának, melegedésének és energiahatékonysági besorolásának megértése ezen a
két veszteségfajtán múlik.

A hiszterézisveszteség

Az átmágnesezés a mágneses tartományok átfordításához munkát igényel. Ez a munka az anyag
belső energiáját növeli, ami az anyag hőmérsékletének emelkedésével jár együtt – és a
hiszterézisveszteség arányos a hiszterézishurok területével.

Az arányosságokat a Steinmetz-összefüggés írja le:

P_h = k_h · f · B_max^n · m

ahol f a frekvencia, B_max az indukció csúcsértéke, m a vas tömege, k_h anyagfüggő
tényező, n pedig a Steinmetz-kitevő.

Csökkentése: jó minőségű, keskeny hurkú lágymágneses anyag, elsősorban szilíciummal
ötvözött acél.

Az örvényáram-veszteség

A vasmagban változó fluxus magában a vasban is feszültséget indukál. Mivel a vas vezető
anyag, ez a feszültség áramot hajt: a vasmag keresztmetszetében zárt hurkokban örvénylő
áramok folynak. Ezek az örvényáramok (angolul: eddy currents; más néven Foucault-áramok),
és melegítik az anyagot.

Az arányosságok:

P_ö = k_ö · f² · B_max² · d² · m / ρ

P = U_i² / R

A lemezelés és a szilíciumos acél

A fenti két arányosságból közvetlenül következik a vasmagok gyártási technológiája:

1. Vékony, egymástól szigetelt lemezekből rétegelt vasmag. A lemezelés megszakítja az
örvényáram útját, és a d²-es függés miatt rendkívül hatásos: a lemezvastagság felezése
a veszteséget a negyedére csökkenti; fordítva, a lemezvastagság megkétszerezése a veszteséget
négyszeresére növeli. A lemezeket lakkréteg, oxidréteg vagy szigetelőpapír választja el
egymástól – ezért nem szabad a vasmagot összepréselő csavarokat úgy meghúzni vagy bekötni,
hogy azok villamosan rövidre zárják a lemezeket.

2. Szilíciummal ötvözött (szilíciumos) acél. A szilícium növeli a fajlagos ellenállást,
és az 1/ρ-s függés miatt ezzel csökkenti az örvényáram-veszteséget – miközben az anyag
megtartja a mágneses maghoz szükséges ferromágneses tulajdonságait. A szilíciumötvözés emellett
a hiszterézisveszteséget is csökkenti, mert keskenyíti a hurkot. Ez a kettős haszon teszi a
szilíciumos acélt a transzformátor- és gépvasmagok alapanyagává.

3. Nagy frekvencián a lemezelés már nem elég. Mivel a veszteség f²-tel nő, a kapcsolóüzemű
tápegységek és a frekvenciaváltók magas frekvenciáin ferrit vagy porvasmag kell: ezek
gyakorlatilag szigetelő szemcsékből állnak, így az örvényáram útja mikroszkopikus méretűre
korlátozódik (25. fejezet).

Kidolgozott mintapélda 7. – Vasveszteségek becslése arányosságokkal
Egy transzformátor vasvesztesége 50 Hz-en, B_max = 1,5 T mellett összesen 50 W, ebből
a hiszterézisveszteség P_h = 30 W, az örvényáram-veszteség P_ö = 20 W.
Hogyan változnak a veszteségek, ha
(a) ugyanezt a transzformátort 60 Hz-es hálózatra kötjük, változatlan B_max mellett?
(b) a vasmagot feleakkora vastagságú lemezekből készítjük (50 Hz, változatlan B_max)?
(c) a B_max értékét 10 %-kal megnöveljük (50 Hz, eredeti lemezvastagság)?

A hiszterézisveszteségnél a 2. hatványú (szakképzési) kitevővel számolunk.

(a) Frekvenciaváltozás 50 Hz → 60 Hz
1. lépés – a frekvenciaarány:
     f₂ / f₁ = 60 / 50 = 1,2
2. lépés – a hiszterézisveszteség (első hatvány):
     P_h2 = 30 W · 1,2 = 36 W
3. lépés – az örvényáram-veszteség (négyzetes):
     P_ö2 = 20 W · 1,2² = 20 W · 1,44 = 28,8 W
4. lépés – az összes vasveszteség:
     P_v2 = 36 W + 28,8 W = 64,8 W   (a kiindulási 50 W helyett, +29,6 %)

(b) A lemezvastagság felezése (d → d/2)
5. lépés – a hiszterézisveszteség nem függ a lemezvastagságtól:
     P_h3 = 30 W (változatlan)
6. lépés – az örvényáram-veszteség a vastagság négyzetével arányos:
     P_ö3 = 20 W · (1/2)² = 20 W · 0,25 = 5 W
7. lépés – az összes vasveszteség:
     P_v3 = 30 W + 5 W = 35 W   (50 W helyett, −30 %)

(c) B_max növelése 10 %-kal (1,5 T → 1,65 T)
8. lépés – az indukcióarány:
     B₂ / B₁ = 1,65 / 1,50 = 1,10
9. lépés – a hiszterézisveszteség (n = 2 kitevővel):
     P_h4 = 30 W · 1,10² = 30 W · 1,21 = 36,3 W
     (Ha n = 1,6-tal számolnánk: 1,10^1,6 = 1,165 → 34,9 W. A kétféle
      modell között itt kb. 4 % az eltérés.)
10. lépés – az örvényáram-veszteség (négyzetes):
     P_ö4 = 20 W · 1,10² = 24,2 W
11. lépés – az összes vasveszteség:
     P_v4 = 36,3 W + 24,2 W = 60,5 W   (+21 %)

⭐ Tanulságok:
   – A frekvencia növelése MINDKÉT veszteséget növeli, az örvényáramét gyorsabban.
   – A lemezelés finomítása CSAK az örvényáram-veszteséget csökkenti – de azt nagyon
     hatékonyan (d² miatt).
   – Az indukció növelése mindkét veszteséget növeli; ezért nem lehet a vasmagot
     tetszőlegesen „kihasználni". A telítés közelében a helyzet még rosszabb.

9.10 Az elektromágneses indukció: nyugalmi és mozgási indukció, Lenz törvénye

Faraday törvénye

Eddig azt vizsgáltuk, hogyan hoz létre az áram mágneses teret. Most jön a fordított irány, és
ez a fordított irány az egész villamosenergia-ipar alapja: a változó mágneses tér feszültséget
kelt.

ε = − dΦ / dt            illetve N menetű tekercsre:  u_i = − N · dΦ / dt

u_i = − N · ΔΦ / Δt

Három dolgot érdemes azonnal rögzíteni:

1. Nem a fluxus indukál feszültséget, hanem a fluxus VÁLTOZÁSA. Egy állandó mágnes mellé
   tett álló tekercsben nulla feszültség indukálódik, akármilyen erős a mágnes.
2. Minél gyorsabb a változás, annál nagyobb a feszültség. A Δt a nevezőben van – ezért lesz
   a hirtelen áramszakításnál óriási a feszültség (9.11 alfejezet).
3. A menetszám szorzótényező. Ezért lehet kis fluxusváltozásból is nagy feszültséget csinálni:
   ez a transzformátor és a gyújtótekercs elve.

Lenz törvénye – a mínusz jel jelentése

Lenz törvénye nem „még egy szabály az irányokra", hanem alapvető fizikai kijelentés. Ha az
indukált áram segítené az őt létrehozó változást, akkor a folyamat magát erősítené, és a
semmiből keletkezne energia – ilyen nincs. Az indukció mindig ellenáll.

Négy gyakorlati jelenség, amit közvetlenül Lenz törvénye magyaráz:

Mozgási indukció

u_i = B · l · v

Kidolgozott mintapélda 8. – Mozgási indukció (generátorelv)
Egy generátor forgórészének egyik hatásos vezetőszála 25 cm hosszú, és B = 0,8 T
indukciójú térben mozog, az erővonalakra merőlegesen, v = 12 m/s kerületi sebességgel.
(a) Mekkora feszültség indukálódik egyetlen vezetőben? (b) Mekkora a tekercs feszültsége,
ha 20 ilyen vezető van sorba kapcsolva? (c) Mennyi lenne a feszültség, ha a fordulatszámot
megkétszereznénk?

Adatok:  B = 0,8 T ;  l = 25 cm = 0,25 m ;  v = 12 m/s ;  z = 20 vezető

1. lépés – az egy vezetőben indukált feszültség:
     u_i = B · l · v = 0,8 T · 0,25 m · 12 m/s = 2,4 V
     (Mértékegység-ellenőrzés: T · m · m/s = (Vs/m²) · m · (m/s) = V.  Helyes.)

2. lépés – 20 sorba kapcsolt vezető:
     U = z · u_i = 20 · 2,4 V = 48 V

3. lépés – kétszeres fordulatszám (kétszeres kerületi sebesség):
     v₂ = 2 · 12 m/s = 24 m/s
     U₂ = 20 · 0,8 · 0,25 · 24 = 96 V   – kétszeres feszültség.

Értékelés: a generátor indukált feszültsége EGYENESEN ARÁNYOS a fordulatszámmal
(és a gerjesztő fluxussal). Ezért kell a szinkron generátort pontosan a hálózati
frekvenciának megfelelő fordulatszámon járatni, és ezért a gerjesztés az a
beavatkozó jel, amivel a feszültséget szabályozzuk (22. fejezet).

Nyugalmi indukció

A két indukciófajta ugyanannak a Faraday-törvénynek a két megjelenési formája – a különbség
csak az, mi okozza a fluxusváltozást:

Kidolgozott mintapélda 9. – Nyugalmi indukció (transzformátorelv)
Egy 500 menetes tekercs vasmagjában a fluxus 2 ms alatt egyenletesen nulláról
1,2 mWb-re nő. (a) Mekkora feszültség indukálódik a tekercsben? (b) Mekkora lenne a
feszültség, ha ugyanez a fluxusváltozás 20 ms alatt menne végbe? (c) Mekkora feszültség
indukálódik egy ugyanazon a vasmagon lévő, 50 menetes második tekercsben?

Adatok:  N₁ = 500 ;  ΔΦ = 1,2 mWb = 1,2·10⁻³ Wb ;  Δt = 2 ms = 2·10⁻³ s ;  N₂ = 50

1. lépés – a fluxusváltozás sebessége:
     ΔΦ / Δt = 1,2·10⁻³ Wb / 2·10⁻³ s = 0,6 Wb/s

2. lépés – az indukált feszültség (a nagyságát számoljuk, az előjel az irányt adja):
     u_i = N₁ · ΔΦ/Δt = 500 · 0,6 Wb/s = 300 V
     (Mértékegység: Wb/s = Vs/s = V.  Helyes.)

3. lépés – tízszer lassabb változás (Δt = 20 ms):
     ΔΦ / Δt = 1,2·10⁻³ / 20·10⁻³ = 0,06 Wb/s
     u_i = 500 · 0,06 = 30 V   – tizedakkora feszültség.

4. lépés – a második, 50 menetes tekercs (ugyanaz a fluxus fűzi):
     u₂ = N₂ · ΔΦ/Δt = 50 · 0,6 = 30 V

5. lépés – a két tekercs feszültségének aránya:
     u₁ / u₂ = 300 / 30 = 10 = N₁ / N₂ = 500 / 50

⭐ Ez az utolsó lépés maga a transzformátor feszültségáttétele: a közös fluxus
   miatt a feszültségek úgy aránylanak egymáshoz, mint a menetszámok. A 20. fejezet
   ebből építi fel a transzformátor teljes elméletét.

⚠ Figyeld meg a 2. és a 3. lépés különbségét: ugyanaz a fluxusváltozás tízszer
   gyorsabban tízszer akkora feszültséget ad. A gyorsaság a döntő – ez lesz a
   kikapcsolási túlfeszültség magyarázata is (9.11).

9.11 Ön- és kölcsönös indukció, induktivitás, a tekercs energiája

Önindukció

Ha egy tekercsben az áram változik, akkor változik az általa keltett fluxus is – és ez a
változó fluxus magában a tekercsben indukál feszültséget. Ez az önindukció.

u_i = − L · dI / dt        gyakorlati alakban:  u_i = − L · ΔI / Δt

L = μ₀ · μ_r · N² · A / l

Kidolgozott mintapélda 10. – Tekercs induktivitása, tárolt energiája és a kikapcsolási feszültség
Egy vasmagos tekercs adatai: N = 400 menet, a vasmag keresztmetszete A = 4 cm², az
erővonalút hossza l = 0,20 m, a vas relatív permeabilitása μ_r = 1500. A tekercsben
I = 2 A egyenáram folyik.
(a) Mekkora az induktivitása? (b) Mennyi energiát tárol a mágneses tere?
(c) Mekkora feszültség indukálódik, ha az áramkört megszakítjuk, és az áram 1 ms alatt
nullára csökken? (d) Mennyi lenne az induktivitás 800 menetnél?

Adatok:
  N = 400 ;  A = 4 cm² = 4·10⁻⁴ m² ;  l = 0,20 m ;  μ_r = 1500 ;  I = 2 A
  μ₀ = 1,257·10⁻⁶ Vs/(A·m)

1. lépés – az induktivitás:
     L = μ₀ · μ_r · N² · A / l
     μ₀ · μ_r      = 1,257·10⁻⁶ · 1500 = 1,8855·10⁻³
     N²            = 400² = 160 000
     1,8855·10⁻³ · 160 000 = 301,68
     301,68 · 4·10⁻⁴ = 0,1207
     L = 0,1207 / 0,20 = 0,603 H

2. lépés – a tárolt mágneses energia:
     W = ½ · L · I² = 0,5 · 0,603 H · (2 A)² = 0,5 · 0,603 · 4 = 1,21 J

3. lépés – a kikapcsoláskor indukált feszültség:
     ΔI = 2 A − 0 A = 2 A ;  Δt = 1 ms = 1·10⁻³ s
     u_i = L · ΔI / Δt = 0,603 H · 2 A / 1·10⁻³ s = 1206 V

4. lépés – kétszeres menetszám (N = 800):
     L₂ = L · (800/400)² = 0,603 H · 4 = 2,41 H
     A tárolt energia is négyszereződne azonos áram mellett: 4,83 J.

⚠ A 3. lépés eredménye a fejezet egyik legfontosabb gyakorlati száma: egy
   ártalmatlannak látszó, néhány tíz voltról táplált kisfeszültségű tekercs
   kikapcsoláskor több mint EZER VOLTOS feszültséget produkálhat. Ez
   roncsolja az érintkezőket, tönkreteszi a félvezetőket, és zavart okoz
   a vezérlésben.

Kölcsönös indukció

u_i = − M · dI / dt

Ez a jelenség a transzformátor és a mérőváltók (áramváltó, feszültségváltó) működési
alapja – de nemkívánatos formában is jelentkezik: a párhuzamosan futó kábelek, a vezérlő- és
az erősáramú kábelek között áthallást (indukált zavart) okoz. Ezért kell a vezérlőkábeleket
az erősáramúaktól elkülönítve vezetni, és ezért árnyékoljuk a jelvezetékeket (30. fejezet).

A tekercsben tárolt energia

W = ½ · L · I²

illetve a mágneses kör mennyiségeivel kifejezve:

W_m = ½ · Φ · Θ  =  ½ · B · H · V           (V = a mágneses tér térfogata)

Az utolsó alak az energiasűrűség alakja: megmutatja, hogy a mágneses energia nem a
tekercsben, hanem a mágneses térben tárolódik – ezért van az, hogy a légrésben (ahol
H nagy) koncentrálódik az energia jelentős része.

Vesd össze a kondenzátorral: W = ½ · C · U² a villamos térben, W = ½ · L · I² a mágneses
térben. A kondenzátor a feszültséget, a tekercs az áramot „nem szereti hirtelen megváltoztatni".
Ezért nem lehet a kondenzátor feszültségét, és nem lehet a tekercs áramát ugrásszerűen
megváltoztatni – minden tranziens jelenség ebből következik.

Az RL-kör időállandója

Ahogyan a kondenzátoros körnek, úgy a tekercses körnek is van időállandója:

τ = L / R          [s] = [H] / [Ω]

Kb. 5 τ idő után a tranziens folyamat lezajlottnak tekinthető – ez ugyanaz a
hüvelykujjszabály, amelyet a 9.4 alfejezetben már megismertünk, és ugyanúgy nem tétel,
hanem gyakorlati becslés.

Az RL-kör időállandója magyarázza:

• a motorindítási áramlökést és annak lecsengését (24. fejezet);
• a mágneskapcsoló-tekercs lekapcsolásakor fellépő túlfeszültséget;
• a transzformátor bekapcsolási áramlökését;
• a zárlati áram egyenáramú összetevőjének lecsengését (16. fejezet).

9.12 Erőhatások mágneses térben – a villamos gép és a kapcsolókészülék működési elve

Az áramjárta vezetőre ható erő

Az utolsó összefüggés zárja be a kört: a mágneses tér erőt fejt ki az áramjárta vezetőre.

F = B · I · l

Az erő irányát a balkézszabállyal szokás meghatározni (memoriter, nem önálló fizikai
törvény): ha a bal kéz nyitott tenyerébe „belépnek" az erővonalak, és a kinyújtott ujjak az
áram irányába mutatnak, akkor a kinyújtott hüvelykujj az erő irányát adja. (Ugyanezt sokan
a jobb kéz „három ujj"-szabályával használják – bármelyik jó, csak következetesen kell
alkalmazni. A számítási feladatokban általában nem az irány, hanem a nagyság a kérdés.)

Kidolgozott mintapélda 11. – Erő az áramjárta vezetőre (motorelv)
Egy egyenáramú motor forgórészének légrésében B = 0,9 T az indukció. A hatásos
vezetőszálak hossza 18 cm, egy vezetőben I = 15 A folyik, és a forgórész kerületén
24 hatásos vezető van a mágneses tér alatt.
(a) Mekkora erő hat egyetlen vezetőre? (b) Mekkora a vezetőkre ható összes erő?
(c) Mi történik az erővel, ha a gerjesztést (és így B-t) a felére csökkentjük?

Adatok:  B = 0,9 T ;  I = 15 A ;  l = 18 cm = 0,18 m ;  z = 24 vezető

1. lépés – az egy vezetőre ható erő:
     F₁ = B · I · l = 0,9 T · 15 A · 0,18 m = 2,43 N
     (Mértékegység: T·A·m = N.  Helyes.)

2. lépés – az összes hatásos vezetőre ható erő:
     F = z · F₁ = 24 · 2,43 N = 58,3 N

3. lépés – feleakkora indukció:
     F' = 0,45 T · 15 A · 0,18 m · 24 = 29,2 N   – éppen fele.

Értékelés: az erő EGYENESEN ARÁNYOS az árammal ÉS az indukcióval. A forgórész
kerülete mentén ható erők nyomatékká adódnak össze, és ez forgatja a gépet.
Ebből következik a hajtástechnika két alapszabálya: a nyomaték az áramtól függ
(ezért az áram a nyomaték „mérőszáma"), a fordulatszám pedig a feszültségtől és a
gerjesztéstől – lásd a 22. és a 24. fejezetet.

A gép működési elve – generátor és motor

A u_i = B · l · v és az F = B · I · l összefüggés ugyanannak az éremnek a két oldala, és
ez az egyik legfontosabb belátás az egész villamos géptanban:

Ugyanaz a gép mindkét üzemmódban működik – ezért lehet egy motort fékezéskor generátorként
használni (visszatápláló fékezés, 24. fejezet), és ezért forog meg egy generátor motorként, ha
véletlenül feszültség alá kerül.

Erőhatás két áramjárta vezető között

Ha két párhuzamos vezetőben áram folyik, mindkettő a másik terében van, ezért erőt fejtenek ki
egymásra: azonos irányú áramoknál vonzzák, ellentétesnél taszítják egymást. Normál üzemi
áramoknál ez az erő elhanyagolható, zárlati áramoknál viszont nem: a zárlati áram
több tízszerese az üzeminek, és mivel az erő az áramok szorzatával arányos, az erő
több százszorosára nőhet. Ezért kell a gyűjtősíneket megfelelő szilárdságú tartókkal
rögzíteni, és ezért szerepel a zárlati szilárdság a kapcsolóberendezések adatlapján
(16., 30. fejezet).

Mire készít elő ez a fejezet?

Ez a fejezet egyenáramú szemlélettel tárgyalta a két erőteret: állandó feszültséget kapcsoltunk
a kondenzátorra, és állandó áramot a tekercsre. A 10. fejezettől kezdve mindkét jelenség
folyamatosan, szinuszosan változó formában tér vissza, és ekkor válik igazán fontossá:

Ellenőrző kérdések

1. Mi a villamos erőtér, és mi hozza létre? Miben különbözik a mágneses tér forrása ettől?
2. Írd fel a villamos térerősség két képletét! Milyen feltétellel érvényes az E = U/d alak, és
   mi történik ettől eltérő esetben (például csúcsnál)?
3. Sorold fel az erővonalak négy tulajdonságát! Miért nem metszhetik egymást?
4. Hogyan viselkedik a vezető és hogyan a szigetelő a villamos térben? Mi következik ebből
   az árnyékolásra és a kondenzátor kapacitására nézve?
5. Mennyi a vákuum permittivitása? Miért hibás a több tananyagban szereplő 8,86·10⁻¹² érték?
6. Mi az átütés, és mi az átütési szilárdság? Mi a mértékegysége? Miben különbözik ettől a
   kúszóáram, és hogyan védekezünk ellene?
7. Mi a kapacitás definíciója és mértékegysége? Írd fel a síkkondenzátor kapacitásának képletét,
   és magyarázd meg, miért nem lehet a lemeztávolságot tetszőlegesen csökkenteni!
8. Hogyan számítjuk a kondenzátorok eredőjét soros és párhuzamos kapcsolásnál? Miért fordítva
   van, mint az ellenállásoknál? Melyik kondenzátorra jut soros kapcsolásban a nagyobb feszültség?
9. Írd fel a kondenzátorban tárolt energia két alakját! Miért különösen veszélyes a nagyfeszültségű
   köztes körrel dolgozó berendezés kondenzátora?
10. Mit ír elő az MSZ 1585 a feltöltve maradó részekre? Miért nem elég a feszültségmentesség
    ellenőrzése kondenzátoros berendezésnél?
11. Mi az RC-kör időállandója, és hogyan vezethető le? A végérték hány százalékát éri el a
    kondenzátor feszültsége 1 τ, 3 τ és 5 τ idő alatt? Miért csak hüvelykujjszabály az „5 τ"?
12. Mi a különbség a mágneses térerősség (H) és a mágneses indukció (B) között? Mi történik
    a két mennyiséggel, ha egy légmagos tekercsbe vasmagot teszünk?
13. Definiáld a mágneses fluxust és a gerjesztést! Mit jelent, hogy Θ = N·I = H·l?
14. Fogalmazd meg a jobbkézszabályt egyenes vezetőre és tekercsre!
15. Írd fel a villamos és a mágneses kör analógiatáblázatát! Mondd ki Hopkinson törvényét, és
    vezesd le a reluktancia képletét!
16. Miért növeli meg egy néhány tized milliméteres légrés drasztikusan a gerjesztésigényt?
17. Mit jelent a telítés? Milyen gyakorlati következményei vannak a transzformátornál és az
    áramváltónál?
18. Rajzold le a hiszterézishurkot, és jelöld be a remanens indukciót, a koercitív erőt és a
    telítési indukciót! Mit jelent a hurok területe?
19. Mi a különbség a lágy- és a keménymágneses anyagok között? Melyiket mire használjuk, és miért?
20. Mitől függ a hiszterézisveszteség, és mitől az örvényáram-veszteség? Melyik állítás hibás a
    magyar szakképzési anyagokban, és mi a helyes összefüggés? Indokold fizikailag!
21. Miért készül a vasmag vékony, egymástól szigetelt lemezekből, szilíciumos acélból? Mit jelent
    számszerűen a lemezvastagság felezése?
22. Mondd ki Faraday és Lenz törvényét! Mit fejez ki a negatív előjel?
23. Mi a különbség a mozgási és a nyugalmi indukció között? Melyik gép működik melyik elven?
24. Mi az önindukció és mi a kölcsönös indukció? Írd fel az induktivitás képletét – miért szerepel
    benne a menetszám négyzeten?
25. Miért lép fel kikapcsolási túlfeszültség induktív terhelésnél? Sorolj fel három védekezési
    módot, és mondd meg, melyik hol alkalmazható!
26. Írd fel az áramjárta vezetőre ható erő képletét! Miért ugyanaz a gép a motor és a generátor?

Tudáspróba

1. Mennyi a vákuum permittivitása (ε₀)?
a) 8,86 · 10⁻¹² F/m b) 8,85 · 10⁻¹² F/m c) 1,257 · 10⁻⁶ F/m d) 4π · 10⁻⁷ F/m

2. Egy síkkondenzátor lemeztávolságát a felére csökkentjük, minden más változatlan.
Mi történik a kapacitással és a dielektrikumban ébredő térerősséggel azonos feszültség mellett?
a) a kapacitás a felére csökken, a térerősség pedig a kétszeresére nő
b) a kapacitás a kétszeresére nő, a térerősség viszont a felére csökken
c) a kapacitás változatlan marad, egyedül a térerősség nő a kétszeresére
d) a kapacitás a kétszeresére nő, és a térerősség is a kétszeresére nő

3. Két kondenzátor, 4 µF és 12 µF, sorosan van kapcsolva. Mekkora az eredő kapacitás?
a) 16 µF b) 8 µF c) 3 µF d) 48 µF

4. Egy 40 µF-os kondenzátor 500 V-ra van feltöltve. Mennyi energiát tárol?
a) 0,02 J b) 10 J c) 20 J d) 5 J

5. Egy 470 µF-os kondenzátor 10 kΩ-os ellenálláson keresztül sül ki. Kb. mennyi idő alatt
tekinthető a kisütés befejezettnek?
a) 4,7 ms b) 4,7 s c) 24 s d) 47 s

6. Egy légmagos tekercsbe μ_r = 1000 relatív permeabilitású vasmagot helyezünk, az áram
változatlan. Mi történik?
a) H és B is ezerszeresére nő b) H ezerszeresére nő, B változatlan
c) H változatlan, B ezerszeresére nő d) egyik sem változik

7. Egy 500 menetes tekercsben 0,4 A áram folyik, az erővonalút hossza 0,25 m. Mekkora a
gerjesztés és a mágneses térerősség?
a) 200 A és 800 A/m b) 1250 A és 200 A/m c) 200 A és 50 A/m d) 125 A és 500 A/m

8. Mitől függ az örvényáram-veszteség?
a) a frekvencia első hatványától és a lemezvastagság első hatványától, a fajlagos
ellenállással pedig egyenesen arányos
b) a frekvencia négyzetétől, a lemezvastagság négyzetétől, és a fajlagos ellenállással
fordítottan arányos
c) kizárólag a hiszterézishurok területétől, a frekvencia és a lemezvastagság
nem befolyásolja
d) a frekvencia négyzetétől, de a lemezvastagságtól és a fajlagos ellenállástól
egyaránt független

9. Egy 400 menetes tekercs vasmagjában a fluxus 5 ms alatt 0,5 mWb-rel változik. Mekkora az
indukált feszültség?
a) 40 V b) 4 V c) 100 V d) 250 V

10. Egy tekercs induktivitása 0,4 H, árama 3 A. Mekkora energiát tárol a mágneses tere, és
mekkora feszültség indukálódik, ha az áram 2 ms alatt nullára csökken?
a) 1,8 J és 600 V b) 3,6 J és 600 V c) 1,8 J és 1200 V d) 0,6 J és 150 V

Források

A fejezet forrásjegyzékéhez tartozó megjegyzések – levezetett és bővítésre váró tartalmak: