02. fejezet – Villamos alapfogalmak és az egyenáramú áramkör

2.1 Az anyag villamos szerkezete: töltés, vezető, szigetelő, félvezető

Ha valaki most kezdi a szakmát, jogos a kérdés: mi az, ami a vezetékben „megy"? A hétköznapi
beszédben azt mondjuk, hogy „folyik az áram", „elfogyott az áram", „megrázott az áram" – ezek a
mondatok azonban három különböző fizikai fogalmat kevernek össze. Ahhoz, hogy pontosan tudjunk
beszélni – és később számolni is –, a legmélyebb szintről kell indulnunk: az anyag felépítéséből.

Az atom és a villamos töltés

Minden anyag atomokból épül fel. Az atomnak van egy nehéz, középen elhelyezkedő atommagja,
amelyben protonok és neutronok vannak, és a mag körül elektronok mozognak. A protonnak és az
elektronnak van egy olyan tulajdonsága, amelyet a fizika villamos töltésnek nevez: a protoné
pozitív, az elektroné negatív, a neutronnak nincs töltése (semleges). Az azonos előjelű
töltések taszítják, az ellentétesek vonzzák egymást – ez az egyik legfontosabb villamos alaptörvény,
amely nélkül sem az áram, sem a feszültség nem érthető meg.

Egy semleges atomban ugyanannyi elektron van, mint proton, ezért a töltések kioltják egymást, és az
atom kifelé semlegesnek látszik. Ha egy atomról elektron szakad le, a maradék pozitív töltésű
lesz; ha egy atom elektront vesz fel, negatív töltésűvé válik. A villamosság minden jelensége
végső soron erre vezethető vissza: töltések szétválasztására és kiegyenlítődésére.

Ebből a számból az is következik, hogy egyetlen elektron töltése rendkívül kicsi: nagyjából a
6,24 · 10¹⁸ reciproka, azaz körülbelül 1,6 · 10⁻¹⁹ coulomb. Ezt az értéket nem kell fejből tudni; azt
viszont igen, hogy egy amperes áramhoz másodpercenként több trillió – 6 · 10¹⁸ nagyságrendű –
elektron elmozdulása kell –
a villamos jelenségek mögött mindig elképzelhetetlenül nagyszámú, apró töltéshordozó áll.

A coulomb neve nem véletlen: a mértékegységek a szakma nagy alakjainak nevét viselik (Coulomb,
Ampère, Volta, Ohm, Watt, Joule, Siemens). A mértékegység jelét mindig nagybetűvel írjuk, ha
személynévből ered (C, A, V, Ω, W, J, S), de a mértékegység nevét kisbetűvel: „coulomb", „amper",
„volt", „ohm", „watt". Ez a vizsgadolgozatban is számít.

Miért vezet a fém, és miért nem vezet a műanyag?

A fémekben – például a rézben és az alumíniumban – az atomok külső elektronjai nem kötődnek
szorosan egyetlen atomhoz sem. Ezek a szabad elektronok az anyag belsejében gazdátlanul
bolyonganak: ha villamos erőhatás éri őket, azonnal elindulnak egy irányba. Az ilyen anyagot
vezetőnek nevezzük.

A szigetelőanyagokban – például a PVC-ben, a gumiban, a porcelánban vagy az epoxigyantában – az
elektronok erősen kötöttek. Nincs (vagy elhanyagolhatóan kevés) szabadon mozgó töltéshordozó, ezért
az anyag – szokásos üzemi körülmények között – nem vezeti az áramot.

A félvezetők a modern villamos berendezések lelkei: a diódák, tranzisztorok, LED-ek,
frekvenciaváltók és napelemek mind félvezetőkből készülnek. A félvezető anyagba szándékosan bevitt
szennyezés a szabad töltéshordozók számát a tiszta anyaghoz képest nagyságrendekkel növelheti;
a szennyezés fajtájától függően N-típusú (többségi töltéshordozó
az elektron) vagy P-típusú (többségi töltéshordozó a lyuk) félvezetőt kapunk. A félvezetők
részletes tárgyalása a jegyzet elektronikai fejezetére marad; itt csak annyit rögzítünk, hogy a
„vezet – nem vezet" kettősség helyett a valóságban egy folytonos skála van.

Amit már most érdemes tudni a rézről és az alumíniumról

Az erősáramú szakmában két vezetőanyag uralkodik: a réz (Cu) és az alumínium (Al). A réz
jobban vezet, könnyebben szerelhető és kevésbé hajlamos a felületi oxidáció okozta hibákra; az
alumínium olcsóbb és lényegesen könnyebb, ezért a szabadvezetékek és a nagy keresztmetszetű
kábelek tipikus anyaga. A kettő közvetlen összekötése azonban tilos szerelői rutinból: a
réz–alumínium érintkezésnél a levegő nedvességének hatására elektrokémiai (galvanikus) korrózió
indul meg, az így képződő oxidréteg megnöveli az átmeneti ellenállást, ami melegedéshez, végül akár
tűzhöz vezet. Az anyagismereti fejezet ezt részletesen tárgyalja; most csak azt jegyezzük meg, hogy
a vezetőanyag megválasztása villamos és mechanikai kérdés is egyszerre.

2.2 A villamos áram: áramerősség, áramirány, egyenáram és váltakozó áram

Ha egy vezetőben lévő szabad elektronokat villamos erőhatás éri, rendezett irányú mozgásba
kezdenek. Fontos a „rendezett" szó: az elektronok magukban is folyamatosan mozognak, csak éppen
összevissza, így összességében nem szállítanak töltést sehová. Áramról akkor beszélünk, ha ez a
mozgás egy irányba rendeződik.

Az áramerősséget a hétköznapi beszéd egyszerűen „áramnak" nevezi, és ezt a szakma is átvette: ha azt
mondjuk, „a motor árama 12 A", akkor az áramerősségre gondolunk. A pontos fogalmi különbség viszont
a vizsgán számíthat: az áram a jelenség, az áramerősség a jelenséget leíró mennyiség.

Kidolgozott mintapélda 1. – Töltés és áramerősség kapcsolata
Egy egyenáramú áramkörben 2 percen keresztül állandó 1,5 A áram folyik.
Mekkora töltésmennyiség halad át ez alatt a fogyasztón?

Adatok:
  I = 1,5 A
  t = 2 perc = 2 · 60 s = 120 s

Az összefüggés:  I = Q / t   →   Q = I · t

Behelyettesítés:
  Q = 1,5 A · 120 s = 180 A·s = 180 C

Eredmény: Q = 180 C.
Ellenőrzés a mértékegységeken: A · s = C, tehát töltést kaptunk – helyes.

Az áram iránya: a technikai áramirány

Itt következik a szakma egyik legrégebbi és legtöbb félreértést okozó megállapodása. A villamos
áram törvényeit még azelőtt fogalmazták meg, hogy az elektront felfedezték volna. Akkoriban úgy
képzelték, hogy a pozitív töltéshordozók vándorolnak a pozitív pólustól a negatív felé, és
minden törvényt, előjelszabályt és rajzjelet erre építettek. Amikor kiderült, hogy a fémekben
valójában a negatív elektronok mozognak – éppen ellenkező irányban –, a megállapodáson már nem
változtattak, mert a törvények így is helyes eredményt adnak.

Egyenáram és váltakozó áram

Ebben a fejezetben kizárólag egyenárammal foglalkozunk, mert ott a legegyszerűbbek az
összefüggések: nincs frekvencia, nincs fáziseltolás, nincs meddő teljesítmény. Ez nem baj: az
egyenáramú körre megtanult összes törvény érvényben marad a váltakozó áramú hálózatokban is, csak
kiegészül. A hazai közcélú hálózat váltakozó áramú; ennek tárgyalása a jegyzet későbbi,
váltakozó áramú fejezetére marad.

Egyenáramú forrás viszont bőven akad a szakmában: az elem és az akkumulátor, a napelem, az
egyenirányítós tápegység, a mérőműszerek belső forrása, a védelmek és a kapcsolóállomások
segédüzemi akkumulátortelepe, valamint a frekvenciaváltók egyenáramú köre.

Az áram hatásai

Az áramot magát nem látjuk – a hatásain keresztül észleljük. A négy legfontosabb hatás egyben a
szakma négy nagy alkalmazási területe is:

2.3 Feszültség, potenciál, feszültségforrás; a forrás belső ellenállása

Az áram magától nem indul el. Ahhoz, hogy a szabad elektronok rendezetten mozogjanak, valaminek
„hajtania" kell őket. Ez a hajtóerő a feszültség.

A feszültség megértéséhez a legjobb kiindulás az, hogy valahol szét kell választani a töltéseket.
Egy elem belsejében kémiai folyamat, egy generátorban mágneses tér és mozgás, egy napelemben a fény
végzi el ezt a munkát: az egyik kivezetésen elektronfelesleg (negatív pólus), a másikon
elektronhiány (pozitív pólus) keletkezik. A szétválasztott töltések „vissza akarnak jutni"
egymáshoz – ez a törekvés a feszültség.

Ebből azonnal következik két gyakorlati szabály, amelyet a szerelőnek a csontjában kell éreznie:

1. Feszültséget mindig két pont között mérünk. Egyetlen pontnak önmagában nincs feszültsége,
   csak potenciálja. Ha valaki azt kérdezi, „mekkora a feszültség ezen a vezetéken?", a helyes
   visszakérdezés: „mihez képest?"
2. Az áram egy ponton keresztül folyik. Ezért mérjük a feszültséget a fogyasztóval
   párhuzamosan (a két pontra rátéve a mérőműszert), az áramot pedig sorosan (a kört
   megbontva, a műszert az áram útjába iktatva). A mérés részletei a jegyzet 6. fejezetében
   találhatók.

A víz-analógia – és a korlátai

A kezdéshez sokat segít a vízvezeték-hasonlat: a feszültség a nyomáskülönbség, az áram a
csövön átfolyó vízmennyiség másodpercenként, az ellenállás pedig a cső szűkülete, amely
akadályozza az áramlást. Szivattyú (forrás) nélkül nincs nyomás, nyomás nélkül nincs áramlás, és
ha a cső el van zárva (nyitott kapcsoló), akkor hiába van nyomás, nem folyik semmi.

A víz-analógia korlátai. A hasonlat kiválóan működik a három alapmennyiség viszonyára, de több
ponton félrevezet, ezért nem szabad ráépíteni a gondolkodást:
- A csőből a víz kifolyik és „elfogy". A vezetékből nem fogy el az elektron: a villamos kör
zárt, ugyanannyi töltés tér vissza a forrásba, mint amennyi elindult. Nem az áramot fogyasztjuk
el, hanem az energiát.
- A víz akkor is folyik, ha a cső vége nyitva van. Az áram viszont csak zárt körben folyik: egy
szakadás azonnal megszünteti.
- A csőben a víz sebessége és az áramlás megindulása egybeesik. A vezetékben az elektronok
vándorlása lassú, a hatás mégis szinte azonnal végigfut a vezetéken.
- Az áramütés kockázatára a hasonlat semmilyen intuíciót nem ad: egy „gyenge nyomású" 230 V halálos
lehet, míg egy autóakkumulátor 12 V-ja és 1500 A rövidzárási árama száraz, ép bőrön általában
nem okoz érzékelhető áramütést – viszont a szerszámot vörösre hevíti. (A feszültséghatárokat
és az érintési feszültség megengedett értékeit a jegyzet VI. része adja meg pontosan.)

Feszültségforrások a gyakorlatban

A készülékjelölési szabvány szerint a kémiai reakcióból villamos energiát előállító eszközök – az
elem, az akkumulátor és az üzemanyagcella – jelölése GB. A tápegység viszont átalakít,
ezért nem G, hanem T csoportba tartozik. A jelölésrendszert a jegyzet 3. fejezete tárgyalja.

A valóságos forrás: belső ellenállás, üresjárás, terhelés

Egy „tökéletes" forrás mindig ugyanakkora feszültséget adna a kapcsain, akármekkora áramot veszünk
ki belőle. A valóságban ez nem így van: ha egy autóban indítózunk, a fényszóró elhalványul; ha egy
zseblámpaelemet erősen terhelünk, a fénye gyengül. Ennek az az oka, hogy a forrásnak magának is
van ellenállása – az elektrolitnak, a tekercselésnek, a belső vezetékezésnek –, és ezen a saját
áram feszültséget ejt.

Az összefüggésből három nagyon fontos következtetés adódik:

• Terheletlenül (I = 0) a kapocsfeszültség egyenlő az üresjárási feszültséggel.
• Terhelés hatására a kapocsfeszültség mindig csökken, mégpedig annál jobban, minél nagyobb az
  áram és minél nagyobb a belső ellenállás.
• Ha a forrás kapcsait rövidre zárjuk, csak a belső ellenállás korlátozza az áramot:
  I_rz = U₀ / R_b, amiből R_b = U₀ / I_rz.

Kidolgozott mintapélda 2. – Akkumulátor belső ellenállása és rövidzárási árama
Egy gépjármű-akkumulátor üresjárási feszültsége 12,6 V. Amikor 100 A áramot veszünk ki belőle,
a kapocsfeszültsége 11,8 V-ra esik vissza.
a) Mekkora a belső ellenállása?  b) Mekkora lenne az elvi rövidzárási árama?

Adatok:
  U0 = 12,6 V ;  Uk = 11,8 V ;  I = 100 A

a) A kapocsfeszültség egyenletéből:
     Uk = U0 − I · Rb        →        Rb = (U0 − Uk) / I
     Rb = (12,6 V − 11,8 V) / 100 A
     Rb = 0,8 V / 100 A = 0,008 Ω = 8 mΩ

b) Rövidzárban a külső ellenállás nulla, csak Rb korlátoz:
     Irz = U0 / Rb = 12,6 V / 0,008 Ω = 1575 A

Eredmény: Rb = 8 mΩ, Irz ≈ 1575 A.
Tanulság: a néhány milliohmos belső ellenállás több mint ezerötszáz amperes rövidzárási áramot enged
meg – ezért olvad meg egy leejtett csavarkulcs az akkumulátorsarukon.

2.4 Az ellenállás és a vezetőképesség; fajlagos ellenállás, hőmérsékletfüggés

Ha ugyanarra a feszültségre egyszer egy fűtőbetétet, másszor egy jelzőlámpát kötünk, nem ugyanakkora
áram folyik. A különbséget az anyag és a kialakítás okozza: a töltéshordozók mozgását a vezető
belsejében akadályozó hatást nevezzük ellenállásnak.

Ugyanazt a valóságot tehát kétféleképpen mondhatjuk el: „ennek a fogyasztónak 10 Ω az ellenállása",
vagy „0,1 S a vezetése". A gyakorlatban az ellenállást használjuk, a vezetést főleg a párhuzamos
kapcsolás számításánál – ott ugyanis egyszerűbb képletet ad.

Mitől függ egy vezeték ellenállása?

Négy tényezőtől: az anyagától, a hosszától, a keresztmetszetétől és a
hőmérsékletétől. Az első hármat egyetlen képlet foglalja össze:

A képlet minden eleme kézzelfogható:

• Kétszer olyan hosszú vezeték kétszer akkora ellenállású – ezért számít a hosszú betápvezeték.
• Kétszer akkora keresztmetszet fele akkora ellenállású – ezért oldunk meg feszültségesési
  problémát vastagabb vezetékkel.
• A jobb vezetőanyag kisebb ρ-t jelent – ezért kisebb a réz ellenállása, mint az azonos méretű
  alumíniumé.

Kidolgozott mintapélda 3. – Vezeték ellenállása a fajlagos ellenállásból
Egy fogyasztót 35 m távolságban lévő elosztóból táplálunk 1,5 mm² keresztmetszetű rézvezetékkel.
Mekkora az áramkör vezetékeinek együttes ellenállása?

Adatok:
  a fogyasztó távolsága: 35 m
  A = 1,5 mm² ;  ró(Cu) = 0,01724 Ω·mm²/m  (20 °C)

Fontos gondolati lépés: az áramnak oda-vissza meg kell tennie az utat, mert a kör zárt.
A számításba tehát a vezeték KÉTSZERES hosszát kell behelyettesíteni:
  l = 2 · 35 m = 70 m

Az összefüggés:  R = ró · l / A

Behelyettesítés:
  R = 0,01724 Ω·mm²/m · 70 m / 1,5 mm²
  R = 1,2068 Ω·mm² / 1,5 mm²
  R = 0,8045 Ω ≈ 0,80 Ω

Eredmény: a vezetékpár ellenállása kb. 0,80 Ω.
Ellenőrzés: a mm² kiesik, ohm marad – a mértékegység rendben van.

Az ellenállás hőmérsékletfüggése

A fémekben melegítés hatására az atomok hevesebben rezegnek, és jobban zavarják az elektronok
haladását: a fém ellenállása a hőmérséklettel nő. Vannak azonban anyagok – a szén és a
félvezetők –, amelyeknél melegítéskor újabb töltéshordozók szabadulnak fel, így az ellenállás
csökken.

Kidolgozott mintapélda 4. – A melegedés hatása a vezeték ellenállására
Az előző példa rézvezetékének ellenállása 20 °C-on 0,80 Ω. Mekkora lesz az ellenállása,
ha üzem közben a vezeték 70 °C-ra melegszik? (Számoljunk alfa = 3,93 · 10⁻³ 1/°C értékkel –
ez a réz pontosabb szakirodalmi hőfoktényezője, a táblázat kb. 3,9 · 10⁻³ értéke ennek a
kerekítése; feladatban mindig a feladat szövegében megadott alfa-val kell számolni.)

Adatok:
  R1 = 0,80 Ω ;  t1 = 20 °C ;  t2 = 70 °C ;  alfa = 3,93 · 10⁻³ 1/°C

A hőmérséklet-változás:
  Δt = t2 − t1 = 70 °C − 20 °C = 50 °C

Az összefüggés:  R2 = R1 · [1 + alfa · Δt]

Behelyettesítés lépésenként:
  alfa · Δt = 3,93 · 10⁻³ 1/°C · 50 °C = 0,1965
  1 + 0,1965 = 1,1965
  R2 = 0,80 Ω · 1,1965 = 0,9572 Ω ≈ 0,96 Ω

Eredmény: R2 ≈ 0,96 Ω, azaz az ellenállás közel 20 %-kal nőtt.
Tanulság: a meleg vezeték nagyobb ellenállású, ezért nagyobb rajta a feszültségesés és nagyobb
a veszteség is, mint amit a hidegen számolt értékből várnánk.

Ne felejtsd el a melegedést az izzólámpánál sem! A hagyományos izzólámpa hideg izzószálának
ellenállása a töredéke az üzemi értéknek, ezért a bekapcsolás pillanatában sokszoros áram folyik.
Ez ugyanaz a jelenség, amiért egy hidegen mért ellenállásból számolt üzemi áram félrevezető lehet.

2.5 Ohm törvénye – az áramkör alaptörvénye

Eddig három mennyiséget vezettünk be: a feszültséget (U), amely hajt, az áramerősséget (I), amely
folyik, és az ellenállást (R), amely akadályoz. Ezek nem függetlenek egymástól – kapcsolatukat a
villamosságtan legfontosabb, legtöbbet használt összefüggése, Ohm törvénye írja le.

Vegyük sorra, mit jelent ez a három alak a gyakorlatban:

• I = U / R – Ismerjük a fogyasztó ellenállását és a hálózati feszültséget, és tudni akarjuk,
  mekkora áramot fog felvenni. Ez a kérdés a védelem és a vezeték kiválasztásához kell.
• U = R · I – Ismerjük az áramot és az ellenállást, és a rajta eső feszültséget keressük. Ez a
  kérdés a feszültségesés számításánál és a feszültségosztóknál jön elő.
• R = U / I – Egy fogyasztó ellenállását méréssel határozzuk meg: megmérjük a feszültségét és az
  áramát, majd elosztjuk. Ez a közvetett (U–I módszeres) ellenállásmérés elve.

Ohm törvénye nem mindenre érvényes. Nemlineáris elemekre – például a diódára, az izzólámpa
felmelegedett szálára, a varisztorra vagy egy ívre – közvetlenül nem alkalmazható, mert ezeknél az
ellenállás maga is függ a feszültségtől, az áramtól vagy a hőmérséklettől. Ilyenkor a jelleggörbét
kell használni. A számítási feladatokban – hacsak a szöveg mást nem mond – ohmos (lineáris)
fogyasztót tételezünk fel.

Mértékegységek és prefixumok

A szakmában a mennyiségek nagyságrendje a milliomodtól a milliószorosáig terjed. Hogy ne kelljen
sok nullát írni, prefixumokat (előtagokat) használunk.

Kidolgozott mintapélda 5. – Ohm törvénye mindhárom irányban
a) Egy 230 V-ra kapcsolt fűtőbetét ellenállása 46 Ω. Mekkora áramot vesz fel?
b) Egy 0,25 Ω ellenállású mérősönt-vezetéken 12 A folyik. Mekkora rajta a feszültség?
c) Egy jelzőlámpa 24 V-on 0,05 A áramot vesz fel. Mekkora az ellenállása?

a) Keresett: I     Adatok: U = 230 V ; R = 46 Ω
     I = U / R = 230 V / 46 Ω = 5 A

b) Keresett: U     Adatok: R = 0,25 Ω ; I = 12 A
     U = R · I = 0,25 Ω · 12 A = 3 V

c) Keresett: R     Adatok: U = 24 V ; I = 0,05 A
     R = U / I = 24 V / 0,05 A = 480 Ω

Eredmények: a) I = 5 A     b) U = 3 V     c) R = 480 Ω
Megjegyzés a c) feladathoz: 0,05 A = 50 mA. Prefixumos alakban:
     R = 24 V / 50 mA = 0,48 kΩ = 480 Ω  – ugyanaz az eredmény, gyorsabban.

2.6 A zárt áramkör elemei: forrás, vezeték, fogyasztó, kapcsoló, védelem

Most már minden alapfogalmunk megvan ahhoz, hogy összerakjuk a legegyszerűbb működő rendszert: az
áramkört.

Az áramkör öt szokásos eleme és a szerepük:

A zárt kör feltétele: áram csak akkor folyik, ha az áramnak a forrás egyik pólusától a
fogyasztón át a másik pólusáig megszakítás nélküli útja van. Ha ezen az úton bárhol szakadás van
– nyitott kapcsoló, elpattant vezeték, kiégett biztosító, laza sorkapocs –, az áram mindenhol
megszűnik, nemcsak a szakadás helyén. Ez a látszólag magától értetődő mondat a hibakeresés
alapelve.

Ezekre a fogalmakra az egyszerű köröknél még nincs feltétlenül szükség, de a jegyzet 8. fejezete –
ahol Kirchhoff törvényeivel összetett hálózatokat oldunk meg – erre a szótárra épül, ezért érdemes
már most megszokni őket.

Az áramkör két alaphibája: a szakadás és a rövidzárlat

Vegyük észre, hogy a két hiba Ohm törvényének két végpontja: szakadásnál R → nagyon nagy, tehát
I → 0; rövidzárlatnál R → nagyon kicsi, tehát I → nagyon nagy. A hálózat a rövidzárlati áramot csak
a forrás belső ellenállása és a vezetékek ellenállása révén korlátozza – ezért kell minden
áramkörbe túláramvédelem.

2.7 Soros kapcsolás: eredő ellenállás, feszültségosztás

A valóságos áramkörökben ritkán van egyetlen fogyasztó. Az elemeket kétféle alapmódon köthetjük
össze: sorosan és párhuzamosan; minden bonyolultabb hálózat ennek a kettőnek a
kombinációja.

A logika egyszerű: mivel az áramnak nincs hová elágaznia, minden elemen ugyanaz az áram folyik
át. A forrás feszültsége viszont „szétosztódik" az elemek között, mégpedig Ohm törvénye szerint:
amelyik ellenállás nagyobb, azon nagyobb feszültség esik. Az eredő ellenállás pedig egyszerű
összeadással adódik – és mindig nagyobb, mint a legnagyobb részellenállás.

A feszültségosztás

A soros kapcsolás legfontosabb gyakorlati alkalmazása a feszültségosztó: két (vagy több) soros
ellenállással a rendelkezésre álló feszültségből kisebbet állítunk elő.

Feszültségosztó, két ellenállás esetén:

U1 = U · R1 / (R1 + R2)          U2 = U · R2 / (R1 + R2)

Általánosan bármelyik soros elemre:   U_R = U_be · R / ΣR

Kidolgozott mintapélda 6. – Soros kör és feszültségosztás
Egy 24 V-os forrásra sorosan kötünk R1 = 100 Ω, R2 = 220 Ω és R3 = 180 Ω ellenállást.
Mekkora az eredő ellenállás, az áram és az egyes ellenállásokon eső feszültség?

Adatok:
  U = 24 V ;  R1 = 100 Ω ;  R2 = 220 Ω ;  R3 = 180 Ω

1. lépés – eredő ellenállás:
     Re = R1 + R2 + R3 = 100 Ω + 220 Ω + 180 Ω = 500 Ω

2. lépés – a körben folyó áram (soros körben mindenütt ugyanaz):
     I = U / Re = 24 V / 500 Ω = 0,048 A = 48 mA

3. lépés – a részfeszültségek (Ohm törvénye elemenként):
     U1 = R1 · I = 100 Ω · 0,048 A = 4,8 V
     U2 = R2 · I = 220 Ω · 0,048 A = 10,56 V
     U3 = R3 · I = 180 Ω · 0,048 A = 8,64 V

4. lépés – ellenőrzés (a részfeszültségek összege = a forrásfeszültség):
     4,8 V + 10,56 V + 8,64 V = 24,0 V   – helyes

Eredmény: Re = 500 Ω ; I = 48 mA ; U1 = 4,8 V ; U2 = 10,56 V ; U3 = 8,64 V.

Kidolgozott mintapélda 7. – Feszültségosztó méretezése
Egy 12 V-os tápfeszültségből kisebb feszültséget kell előállítanunk egy jelzőáramkör számára.
A feszültségosztó R1 = 4,7 kΩ és R2 = 10 kΩ ellenállásból áll; a kimenetet R2-ről vesszük le.
Mekkora a kimeneti feszültség és a körben folyó áram?

Adatok:
  U = 12 V ;  R1 = 4,7 kΩ ;  R2 = 10 kΩ

1. lépés – a feszültségosztó képlete:
     U2 = U · R2 / (R1 + R2)

2. lépés – a nevező:
     R1 + R2 = 4,7 kΩ + 10 kΩ = 14,7 kΩ

3. lépés – behelyettesítés:
     U2 = 12 V · 10 kΩ / 14,7 kΩ = 12 V · 0,6803 = 8,16 V

4. lépés – az osztón folyó áram:
     I = U / (R1 + R2) = 12 V / 14,7 kΩ = 0,816 mA
     (a V/kΩ = mA összefüggés használatával)

5. lépés – ellenőrzés:
     U1 = R1 · I = 4,7 kΩ · 0,816 mA = 3,84 V
     U1 + U2 = 3,84 V + 8,16 V = 12,0 V   – helyes

Eredmény: U2 = 8,16 V ; I = 0,816 mA.

A feszültségosztó terhelés hatására „beesik". A fenti számítás terheletlen osztóra
érvényes. Ha a kimenetre fogyasztót kötünk, az párhuzamosan kerül R2-vel, így az eredő ellenállás
lecsökken, és a kimeneti feszültség a számítottnál kisebb lesz. Ezért nem lehet feszültségosztóval
komoly teljesítményű fogyasztót táplálni – arra tápegység való.

Emlékeztető a soros körre: „Sorosan az áram a közös, a feszültség osztozik." A soros
kapcsolás másik fontos tulajdonsága, hogy bárhol szakad meg a kör, az egész kör árama megszűnik.
Ezért voltak a régi karácsonyfaégő-sorok olyan bosszantóak – és ezért kell a védelmi és a
biztonsági köröket (például a vészleállító láncot) sorosan felépíteni: a szakadás ott a biztonságos
állapotot hozza létre.

2.8 Párhuzamos kapcsolás: eredő ellenállás, áramosztás

A háztartási és ipari hálózatok fogyasztói párhuzamosan kapcsolódnak: minden lámpa, minden
dugalj, minden motor ugyanazt a hálózati feszültséget kapja, és önállóan ki-be kapcsolható.

Itt fordított a helyzet, mint a soros kapcsolásnál: a feszültség a közös, és az áram osztozik.
Minden ág annyi áramot vesz fel, amennyit a saját ellenállása enged – a kisebb ellenállású ág
többet, a nagyobb kevesebbet.

Az áramosztás

Áramosztó, két párhuzamos ág esetén:

I1 = I · R2 / (R1 + R2)          I2 = I · R1 / (R1 + R2)

Figyeljük meg a képlet „keresztbe" jellegét: az 1-es ág áramának számításánál a 2-es ág
ellenállása áll a számlálóban. Ez logikus: minél nagyobb a másik ág ellenállása, annál nagyobb rész
jut az áramból az egyes ágra.

Kidolgozott mintapélda 8. – Párhuzamos kapcsolás eredője és az ágáramok
Egy 24 V-os forrásra párhuzamosan kötünk R1 = 20 Ω és R2 = 30 Ω ellenállást.
Mekkora az eredő ellenállás, a főági áram és a két ágáram?

Adatok:
  U = 24 V ;  R1 = 20 Ω ;  R2 = 30 Ω

1. lépés – eredő ellenállás (két elem, szorzat/összeg alak):
     Re = (R1 · R2) / (R1 + R2)
     Re = (20 Ω · 30 Ω) / (20 Ω + 30 Ω)
     Re = 600 Ω² / 50 Ω = 12 Ω
     Ellenőrzés: 12 Ω < 20 Ω, azaz kisebb a legkisebb ágnál – rendben.

2. lépés – a főági (forrásból kivett) áram:
     I = U / Re = 24 V / 12 Ω = 2 A

3. lépés – az ágáramok (mindkét ágon ugyanaz a 24 V van):
     I1 = U / R1 = 24 V / 20 Ω = 1,2 A
     I2 = U / R2 = 24 V / 30 Ω = 0,8 A

4. lépés – ellenőrzés (az ágáramok összege = a főági áram):
     1,2 A + 0,8 A = 2,0 A   – helyes

Ugyanez az áramosztó képletével, ha csak a főági áramot ismernénk:
     I1 = I · R2 / (R1 + R2) = 2 A · 30 Ω / 50 Ω = 1,2 A   – ugyanaz az eredmény.

Eredmény: Re = 12 Ω ; I = 2 A ; I1 = 1,2 A ; I2 = 0,8 A.

2.9 Vegyes kapcsolások lépésenkénti egyszerűsítése

A valóságos áramkörök soros és párhuzamos részek keverékei. Ezeket vegyes kapcsolásnak nevezzük,
és megoldásuk nem igényel új törvényt: csak az eddigieket kell jó sorrendben, lépésenként
alkalmazni.

Az eljárás mindig ugyanaz:

1. Rajzold át a kapcsolást áttekinthető formára, és jelöld be a csomópontokat. Két elem akkor van
   párhuzamosan, ha mindkét kivezetésük ugyanahhoz a két csomóponthoz csatlakozik; akkor van
   sorosan, ha egyetlen közös pontjuk van, és onnan nincs elágazás.
2. Vond össze a legbelső, egyértelműen felismerhető soros vagy párhuzamos csoportot egyetlen
   helyettesítő ellenállássá, és rajzold újra az egyszerűsödött kapcsolást.
3. Ismételd, amíg egyetlen eredő ellenállás marad.
4. Számold ki a főági áramot Ohm törvényével: I = U / R_e.
5. Menj visszafelé lépésenként: a részfeszültségeket és a részáramokat a soros
   (feszültségosztás) és a párhuzamos (áramosztás) szabállyal határozd meg.
6. Ellenőrizz: a soros részfeszültségek összege adja a forrásfeszültséget, a párhuzamos
   ágáramok összege a főági áramot.

„Befelé egyszerűsíts, kifelé számolj." A vegyes kapcsolások megoldásának ez az egymondatos
összefoglalása: előbb a legtávolabbi részletektől haladva összevonsz egészen a forrásig, majd a
forrásból kiindulva visszabontod a részeredményeket. Minden lépésnél rajzolj új, egyszerűbb
kapcsolást – aki fejben próbálja tartani, az téveszt.

Kidolgozott mintapélda 9. – Vegyes kapcsolás teljes megoldása
Egy 24 V-os forrásra a következő kapcsolást kötjük: R1 = 10 Ω sorosan az R2 = 20 Ω és
R3 = 30 Ω párhuzamos kapcsolásával. Határozd meg az eredő ellenállást, az áramokat és
a feszültségeket!

Adatok:
  U = 24 V ;  R1 = 10 Ω ;  R2 = 20 Ω ;  R3 = 30 Ω

1. lépés – a párhuzamos rész összevonása:
     R23 = (R2 · R3) / (R2 + R3) = (20 Ω · 30 Ω) / (20 Ω + 30 Ω)
     R23 = 600 Ω² / 50 Ω = 12 Ω

2. lépés – a maradék soros kör eredője:
     Re = R1 + R23 = 10 Ω + 12 Ω = 22 Ω

3. lépés – a főági áram:
     I = U / Re = 24 V / 22 Ω = 1,0909 A ≈ 1,09 A

4. lépés – a részfeszültségek:
     U1  = R1 · I  = 10 Ω · 1,0909 A = 10,91 V
     U23 = R23 · I = 12 Ω · 1,0909 A = 13,09 V
     Ellenőrzés: 10,91 V + 13,09 V = 24,0 V   – helyes

5. lépés – az ágáramok a párhuzamos részben (mindkét ágon U23 = 13,09 V):
     I2 = U23 / R2 = 13,09 V / 20 Ω = 0,655 A
     I3 = U23 / R3 = 13,09 V / 30 Ω = 0,436 A
     Ellenőrzés: 0,655 A + 0,436 A = 1,091 A = I   – helyes

Eredmény: Re = 22 Ω ; I ≈ 1,09 A ; U1 = 10,91 V ; U23 = 13,09 V ; I2 = 0,655 A ; I3 = 0,436 A.

Az itt tanult módszer korlátja, hogy csak egyetlen forrást tartalmazó, soros-párhuzamos
lépésekre bontható hálózatra működik. Ha a hálózatban több forrás van, vagy a kapcsolás
(például hídkapcsolás) nem bontható ilyen lépésekre, akkor Kirchhoff törvényeire és az azokból
levezetett módszerekre – hurokáramok, csomóponti potenciálok, Thévenin- és Norton-helyettesítés,
szuperpozíció – van szükség. Ezeket a jegyzet 8. fejezete tárgyalja; ott derül majd ki az is, hogy
a most megismert belső ellenállás fogalma miként vezet el a zárlatszámításig.

2.10 Villamos munka, teljesítmény, hatásfok; a villamos energia mértékegységei

Eddig azt vizsgáltuk, mekkora áram folyik. Most az következik, hogy mit végez ez az áram, és
mennyibe kerül.

Villamos munka és teljesítmény

Ohm törvényét behelyettesítve a teljesítménynek három egyenértékű alakja adódik – mindig azt
használjuk, amelyikhez éppen adottak a mennyiségek:

A kilowattóra

A joule a gyakorlatban túl kicsi egység: egyetlen villanybojler napi működése tízmillió joule
nagyságrendű energia.
Ezért az energiaellátásban a kilowattórát használjuk.

Mértékegység-átváltások:

1 Wh  = 1 W · 1 h = 1 W · 3600 s = 3600 Ws = 3600 J
1 kWh = 1000 Wh = 3,6 · 10⁶ Ws = 3,6 MJ

Kidolgozott mintapélda 10. – Teljesítmény és áramfelvétel
Egy 230 V-ra kapcsolt fűtőbetét ellenállása 46 Ω.
a) Mekkora áramot vesz fel?  b) Mekkora a teljesítménye?  c) Ellenőrizd más képlettel is!

Adatok:
  U = 230 V ;  R = 46 Ω

a) Ohm törvénye:
     I = U / R = 230 V / 46 Ω = 5 A

b) A teljesítmény alapképlete:
     P = U · I = 230 V · 5 A = 1150 W = 1,15 kW

c) Ellenőrzés a másik két alakkal:
     P = U² / R = (230 V)² / 46 Ω = 52 900 V² / 46 Ω = 1150 W
     P = I² · R = (5 A)² · 46 Ω = 25 A² · 46 Ω = 1150 W

Eredmény: I = 5 A ; P = 1150 W. Mindhárom képlet ugyanazt adja – ez jó önellenőrzés.

Kidolgozott mintapélda 11. – Energiafogyasztás és költség
Egy 2 kW-os elektromos fűtőkészülék naponta 3 órán át üzemel, 30 napon keresztül.
a) Mennyi energiát fogyaszt?  b) Mennyibe kerül, ha a villamos energia egységára 50 Ft/kWh?
   (Az egységár csak a számítás bemutatására felvett érték – a valós díjszabást a szolgáltatói
   szerződés és a számla tartalmazza.)

Adatok:
  P = 2 kW ;  napi üzemidő = 3 h ;  napok száma = 30

a) Összes üzemidő:
     t = 3 h/nap · 30 nap = 90 h

   Az energia:
     W = P · t = 2 kW · 90 h = 180 kWh

   Ugyanez SI-egységben:
     180 kWh · 3,6 MJ/kWh = 648 MJ

b) A költség:
     Költség = W · egységár = 180 kWh · 50 Ft/kWh = 9000 Ft

Eredmény: W = 180 kWh (= 648 MJ), a költség a felvett egységárral 9000 Ft.
Tanulság: a fogyasztás a teljesítmény ÉS az üzemidő szorzata – egy kis teljesítményű, de folyamatosan
járó készülék többe kerülhet, mint egy nagy teljesítményű, ritkán használt.

Fejszámolási fogás a háztartási fogyasztásra: ha egy készülék teljesítménye 1 kW és naponta
1 órát megy, akkor havonta kb. 30 kWh-t fogyaszt. Innen minden arányosítható: egy 2 kW-os
készülék napi 3 órával 6-szor ennyit, azaz 180 kWh-t. Ez a becslés a vizsgán is gyorsan ellenőrzi,
hogy nem tévedtünk-e nagyságrendet.

Hatásfok

Egyetlen berendezés sem alakítja át a felvett energia teljes egészét hasznos formába: mindig
keletkezik veszteség, jellemzően hő formájában.

Ha egy számítás 100 % feletti hatásfokot ad, biztosan hiba van benne – vagy felcseréltük a
számlálót és a nevezőt, vagy a bevitt és a leadott teljesítményt tévesztettük össze. A hatásfok
képletében mindig a nagyobb érték (a felvett teljesítmény) áll a nevezőben.

Kidolgozott mintapélda 12. – Motor hatásfoka és vesztesége
Egy villamos motor tengelyén 4 kW mechanikai teljesítmény jelenik meg, miközben a hálózatból
4,7 kW villamos teljesítményt vesz fel.
a) Mekkora a hatásfoka?  b) Mekkora a vesztesége?  c) Mennyi hő fejlődik 8 óra üzem alatt?

Adatok:
  P_hasznos = 4 kW ;  P_bevitt = 4,7 kW ;  t = 8 h

a) A hatásfok:
     éta = P_hasznos / P_bevitt = 4 kW / 4,7 kW = 0,8511
     éta = 85,11 % ≈ 85,1 %

b) A veszteség:
     P_veszteség = P_bevitt − P_hasznos = 4,7 kW − 4 kW = 0,7 kW = 700 W

c) A 8 óra alatt hővé alakuló energia:
     W_veszteség = P_veszteség · t = 0,7 kW · 8 h = 5,6 kWh

Eredmény: éta ≈ 85,1 % ; P_veszteség = 700 W ; 8 óra alatt 5,6 kWh alakul hővé.
Tanulság: a 700 W-os veszteség egy kisebb hősugárzónak felel meg – ezért kell a motorok
hűtéséről és a szekrények szellőzéséről gondoskodni.

2.11 A vezeték melegedése – bevezetés a terhelhetőség fogalmához

Az utolsó alfejezet összekapcsolja mindazt, amit eddig tanultunk, és átvezet a szakma egyik
legfontosabb gyakorlati kérdéséhez: miért nem mindegy, milyen vastag vezetéket építünk be?

A Joule-hő

Minden vezetéknek van ellenállása, és minden ellenálláson, amelyen áram folyik, hő fejlődik.

Az I² miatt a hatás nagyon erős: kétszeres áram négyszeres hőfejlődést jelent. Ez az egyetlen
összefüggés magyarázza meg, miért olyan veszélyes a túlterhelés és a rövidzárlat.

Feszültségesés és veszteség a vezetéken

Kidolgozott mintapélda 13. – Feszültségesés és teljesítményveszteség a vezetéken
A 3. mintapélda vezetékpárján (R = 0,80 Ω, 2 × 35 m, 1,5 mm² réz) 10 A áram folyik.
a) Mekkora a feszültségesés a vezetéken?
b) Hány százalék ez a 230 V-os névleges feszültséghez képest?
c) Mekkora teljesítmény alakul hővé magában a vezetékben?

Adatok:
  R = 0,80 Ω ;  I = 10 A ;  U_n = 230 V

a) A feszültségesés Ohm törvényével:
     ΔU = R · I = 0,80 Ω · 10 A = 8,0 V

b) A relatív feszültségesés:
     ΔU% = ΔU / U_n · 100 = 8,0 V / 230 V · 100 = 3,48 % ≈ 3,5 %

c) A vezetéken hővé alakuló teljesítmény:
     P_v = I² · R = (10 A)² · 0,80 Ω = 100 A² · 0,80 Ω = 80 W

Eredmény: ΔU = 8 V (a névleges feszültség 3,5 %-a), P_v = 80 W.
Tanulság: a fogyasztóra már csak 230 V − 8 V = 222 V jut, és a vezetékben 80 W hő fejlődik –
annyi, mint egy régi izzólámpában. Ez a hő a fal, a védőcső vagy a kábelköteg belsejében
keletkezik, ahonnan nehezen távozik.

Figyeljük meg, mi történne, ha ugyanezen a vezetéken kétszer akkora, 20 A áram folyna: a
feszültségesés kétszeresére (16 V-ra), a hőfejlődés viszont négyszeresére (320 W-ra) nőne. A
vezeték hőmérséklete emelkedik, ettől az ellenállása is nő (2.4 alfejezet), ami tovább növeli a
veszteséget – ez a folyamat kedvezőtlen esetben elszaladhat.

A terhelhetőséget tehát nem az szabja meg, hogy „mekkora áramot bír ki" a rézhuzal, hanem az, hogy
a keletkező hő milyen gyorsan tud eltávozni, és eközben mekkora hőmérséklet alakul ki. Ezért függ a
terhelhetőség többek között:

• a keresztmetszettől (nagyobb keresztmetszet – kisebb ellenállás és nagyobb felület),
• a vezető anyagától (réz vagy alumínium),
• a szigetelőanyagtól és annak megengedett üzemi hőmérsékletétől,
• a fektetési módtól (szabadon, védőcsőben, falban, kábeltálcán, földben),
• a környezeti hőmérséklettől és a halmozástól (hány áramkör fut egymás mellett).

Ellenőrző kérdések

1. Mi a villamos töltés, mi a jele és a mértékegysége? Körülbelül hány elektron töltése ad 1 coulombot?
2. Miből ered a különbség a vezető, a szigetelő és a félvezető között? Mondj mindegyikre két példát!
3. Határozd meg az áramerősséget, és írd fel a töltéssel való kapcsolatát! Mi az összefüggés két mértékegysége között?
4. Mit jelent a technikai áramirány, és miért tér el a fémekben ténylegesen mozgó töltéshordozók irányától?
5. Mi a különbség a feszültség és a potenciál között? Miért nincs értelme egyetlen pont feszültségéről beszélni?
6. Sorold fel a víz-analógia négy legfontosabb korlátját!
7. Mi az üresjárási feszültség, a kapocsfeszültség és a belső ellenállás? Írd fel a köztük lévő összefüggést!
8. Írd fel Ohm törvényének mindhárom alakját, és mondj mindegyikre egy gyakorlati kérdést, amelyre válaszol!
9. Mitől függ egy vezeték ellenállása? Írd fel a képletet, és add meg a mértékegységek helyes párosítását!
10. Hogyan változik a fém, illetve a félvezető ellenállása melegedéskor? Mi a hőfoktényező jele és mértékegysége?
11. Sorold fel a zárt áramkör elemeit és a szerepüket! Mi a zárt kör feltétele?
12. Hasonlítsd össze a szakadást és a rövidzárlatot: mi történik az árammal, mi a tipikus ok, és melyik miért veszélyes?
13. Foglald össze a soros és a párhuzamos kapcsolás négy-négy jellemzőjét! Melyik esetben mekkora az eredő a részellenállásokhoz képest?
14. Mi a különbség a kW és a kWh között? Hány megajoule egy kilowattóra?

Tudáspróba

1. Mekkora töltés halad át egy fogyasztón, ha 0,5 A áram folyik rajta 4 percen keresztül?
a) 2 C b) 120 C c) 240 C d) 480 C

2. Melyik állítás igaz a technikai áramirányra?
a) A pozitív pólustól a negatív felé mutat, és a pozitív töltéshordozók irányával egyezik meg.
b) A negatív pólustól a pozitív felé mutat, és megegyezik az elektronok mozgásirányával.
c) Csak váltakozó áramnál értelmezhető.
d) Az elektronok felfedezése után a szakma megfordította.

3. Egy 100 m hosszú, 4 mm² keresztmetszetű rézvezeték ellenállása (ρ = 0,01724 Ω·mm²/m):
a) 0,043 Ω b) 0,431 Ω c) 4,31 Ω d) 6,90 Ω

4. Egy 12 Ω-os fogyasztóra 24 V-ot kapcsolunk. Mekkora a felvett teljesítmény?
a) 2 W b) 24 W c) 48 W d) 288 W

5. Két ellenállás, 30 Ω és 60 Ω, párhuzamosan van kapcsolva. Az eredő ellenállás:
a) 20 Ω b) 30 Ω c) 45 Ω d) 90 Ω

6. Egy soros körben R1 = 200 Ω és R2 = 300 Ω, a tápfeszültség 20 V. Mekkora feszültség esik R2-n?
a) 8 V b) 10 V c) 12 V d) 20 V

7. Melyik állítás HELYES a párhuzamos kapcsolásra?
a) Az eredő ellenállás mindig kisebb a legkisebb ágellenállásnál.
b) Az eredő ellenállás mindig nagyobb a legnagyobb ágellenállásnál.
c) Minden ágon ugyanaz az áram folyik.
d) A részfeszültségek összege adja a tápfeszültséget.

8. Egy akkumulátor üresjárási feszültsége 24 V, belső ellenállása 0,05 Ω. Mekkora a kapocsfeszültsége 40 A terhelésnél?
a) 2 V b) 20 V c) 22 V d) 26 V

9. Egy 1,5 kW-os készülék napi 2 órát üzemel 30 napon át. Mennyi az energiafogyasztása?
a) 3 kWh b) 45 kWh c) 60 kWh d) 90 kWh

10. Egy vezetéken folyó áramot megkétszerezzük. Hogyan változik a vezetékben fejlődő hő?
a) A felére csökken. b) Változatlan marad. c) Kétszeresére nő. d) Négyszeresére nő.

Források